Уравнение с отбором корней: разбор задания 14

Условие

а) Решите уравнение 2cos²x + sin x − 1 = 0. б) Найдите все корни на отрезке [2π; 7π/2].

В уравнении есть и синус, и косинус. Первое желание всегда одно: свести всё к одной функции. Здесь косинус стоит в квадрате, а квадрат косинуса легко выразить через синус по основному тригонометрическому тождеству.

Пункт а: решаем уравнение

Заменяем cos²x на 1 − sin²x:

2(1 − sin²x) + sin x − 1 = 0 2 − 2sin²x + sin x − 1 = 0 2sin²x − sin x − 1 = 0

Получилось квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим t = sin x, где −1 ≤ t ≤ 1:

2t² − t − 1 = 0, D = 1 + 8 = 9 t₁ = (1 + 3)/4 = 1, t₂ = (1 − 3)/4 = −1/2

Оба значения лежат в промежутке от −1 до 1, значит, оба подходят. Это важная проверка: если бы получилось, например, t = 2, такой корень пришлось бы отбросить, ведь синус не бывает больше единицы.

Возвращаемся к x. Уравнение sin x = 1 частный случай, его решение одна серия:

sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πk, k ∈ ℤ

Уравнение sin x = −1/2 даёт две серии. Синус равен −1/2 в точках окружности, которые соответствуют углам −π/6 и −5π/6:

sin x = −1/2 ⇒ x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ

Вторую серию можно записать и как 7π/6 + 2πk, это одно и то же множество чисел. На экзамене засчитывают любую верную запись.

Пункт б: отбор корней

Отрезок [2π; 7π/2] это один оборот и ещё три четверти: от 2π до 3,5π. Отбирать корни можно тремя способами. Покажем все, а на экзамене достаточно одного.

Способ 1. По окружности

Отмечаем на окружности начало отрезка 2π (это точка 0, справа) и конец 7π/2 (это точка 3π/2, внизу). Отрезок проходит дугу против часовой стрелки от правой точки через верхнюю и левую до нижней. Теперь смотрим, какие точки серий попали на эту дугу:

• sin x = 1: верхняя точка, π/2. На нашей дуге она равна 2π + π/2 = 5π/2.
• sin x = −1/2: точки 7π/6 (слева внизу) и 11π/6 (справа внизу). Дуга кончается в нижней точке 3π/2, поэтому 7π/6 на ней есть, а 11π/6 нет. 2π + 7π/6 = 19π/6.

Способ 2. Двойным неравенством

Для каждой серии решаем неравенство для k. Для первой:

2π ≤ π/2 + 2πk ≤ 7π/2 3/4 ≤ k ≤ 3/2 ⇒ k = 1, x = 5π/2

Для серии −π/6 + 2πk: 2π ≤ −π/6 + 2πk ≤ 7π/2 даёт 13/12 ≤ k ≤ 11/6, целых k нет. Для серии −5π/6 + 2πk: 17/12 ≤ k ≤ 13/6, отсюда k = 2 и x = −5π/6 + 4π = 19π/6.

Способ 3. Перебором

Подставляем в каждую серию k = 0, 1, 2 и смотрим, какие значения между 2π = 12π/6 и 7π/2 = 21π/6. Например, во второй серии: 11π/6 меньше 12π/6, а 23π/6 больше 21π/6, обе мимо. Способ надёжный, но долгий.

Как записать ответ

Ответ: а) π/2 + 2πk; −π/6 + 2πk; −5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ б) 5π/2; 19π/6

Если отбор делали по окружности, рисунок обязательно должен быть в бланке: с отмеченным отрезком и подписанными точками. Без рисунка проверяющий не увидит обоснования, и балл за пункт б могут не поставить.

Где теряют баллы

• Потерянная серия. У sin x = −1/2 две серии, а записывают одну. Это самая частая ошибка: всегда проверяйте по окружности, сколько точек даёт значение.
• Не проверили ограничение. После замены t = sin x забыли отбросить значения вне [−1; 1].
• Ошибка на границе. Корень, совпадающий с концом отрезка, входит в ответ, если отрезок, а не интервал. Внимательно читайте скобки.
• Отбор без обоснования. Просто написать «5π/2 и 19π/6» мало. Нужны окружность, неравенство или перебор.
• Деление на функцию. Если в уравнении можно вынести sin x или cos x за скобку, выносите, а не делите: при делении теряются корни, где эта функция равна нулю.

Какие ещё бывают уравнения

Наш пример относится к самому частому типу: сведение к квадратному через основное тождество. Кроме него в задании встречаются:

• уравнения с формулами двойного угла, где sin 2x раскрывают как 2sin x cos x и выносят общий множитель;
• однородные уравнения вида a·sin²x + b·sin x cos x + c·cos²x = 0, которые делят на cos²x и получают уравнение относительно tg x;
• уравнения с формулами приведения вроде sin(3π/2 + x), где сначала упрощают выражение;
• показательные и логарифмические уравнения, где тригонометрия спрятана внутри.

Основу всех этих приёмов, значения синуса и косинуса на окружности, разобрали в статье о тригонометрической окружности.

Частые вопросы