Графики функций на ОГЭ: прямая, парабола, гипербола
В задании 11 ОГЭ по математике даны три графика и несколько формул, и нужно сопоставить их. Задание стоит один балл, но многие теряют его из-за спешки. Есть простой алгоритм: для каждой функции знать два-три признака, по которым её видно на графике. Разбираем прямую, параболу и гиперболу.
Для 8–9 классов.
Прямая y = kx + b
У прямой два коэффициента, и каждый виден на графике.
- k отвечает за наклон. Если k > 0, прямая возрастает: идёт слева направо вверх. Если k < 0, убывает: идёт вниз. Чем больше модуль k, тем круче прямая.
- b отвечает за точку пересечения с осью Oy. Прямая пересекает её в точке (0; b). Если пересечение выше нуля, b > 0, ниже нуля b < 0, через начало координат b = 0.
Ещё один полезный признак: точка пересечения с осью Ox. Прямая y = kx + b пересекает её при x = −b/k. Если k и b одного знака, это пересечение левее начала координат, если разных, правее. Иногда именно этот признак помогает различить две похожие прямые.
Пример: прямая идёт вниз и пересекает Oy выше нуля. Значит, k < 0 и b > 0, подходит формула вроде y = −2x + 3. Подробнее о прямой в статье о линейной функции.
Парабола y = ax² + bx + c
С параболой признаков больше, но они так же видны глазами.
- a: направление ветвей. a > 0 ветви вверх, как улыбка. a < 0 ветви вниз.
- c: пересечение с Oy. Парабола пересекает ось Oy в точке (0; c).
- Вершина по x: x₀ = −b / (2a). Если вершина справа от оси Oy, то x₀ > 0, а значит, a и b разных знаков. Если слева, одинаковых. Если вершина на оси Oy, b = 0.
- Пересечения с Ox: два, одно или ни одного, в зависимости от дискриминанта.
Удобная проверка: подставить в формулу x = 0 и сравнить результат с точкой, где график пересекает Oy. Если в формуле y = x² − 4x + 3, то при x = 0 получаем 3, и график должен пересекать Oy в точке 3.
Гипербола y = k/x
Гипербола состоит из двух ветвей, которые никогда не пересекают оси.
- k > 0: ветви в первой и третьей четвертях, справа вверху и слева внизу.
- k < 0: ветви во второй и четвёртой четвертях, слева вверху и справа внизу.
- Модуль k показывает, насколько ветви удалены от начала координат. Проверить можно по точке: при x = 1 значение y = k.
Если на графике отмечена точка, например (2; −3), подставьте её в формулы: k = x · y = −6, значит, y = −6/x.
Разбор задания
Задача
Установите соответствие между графиками и формулами. А) прямая, которая убывает и пересекает ось Oy выше начала координат; Б) парабола с ветвями вниз и вершиной на оси Oy выше начала координат; В) гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях. Формулы: 1) y = −2/x; 2) y = −x² + 3; 3) y = −2x + 3; 4) y = 2x + 3.
А) убывает, значит, k < 0: подходит 3, а не 4. Пересечение с Oy в точке 3 > 0 подтверждает.
Б) ветви вниз, значит, a < 0; вершина на Oy, значит, b = 0; пересечение в точке 3. Это формула 2.
В) вторая и четвёртая четверти, значит, k < 0. Формула 1.
Ответ: А3, Б2, В1.
Задача
По графику параболы определите знаки коэффициентов: ветви вверх, вершина правее оси Oy, график пересекает Oy ниже начала координат.
Ветви вверх: a > 0.
Пересечение с Oy ниже нуля: c < 0.
Вершина справа: x₀ = −b/(2a) > 0. Так как a > 0, это возможно, только если b < 0.
Ответ: a > 0, b < 0, c < 0.
Алгоритм на экзамене
- Определить вид каждого графика: прямая, парабола или гипербола.
- Для каждого задать два-три вопроса: куда идёт или куда смотрят ветви, где пересекает Oy, в каких четвертях.
- Отбросить формулы, которые не подходят по первому признаку.
- Если осталось несколько вариантов, подставить точку с графика.
Частые ошибки
- Путают b у прямой с наклоном: b это сдвиг вверх или вниз, наклон задаёт k.
- У параболы смотрят только на ветви и не проверяют c. Две формулы с одинаковым знаком a легко различить по пересечению с Oy.
- У гиперболы путают четверти. Нумерация идёт против часовой стрелки от правой верхней: I справа вверху, II слева вверху, III слева внизу, IV справа внизу.
- Не учитывают масштаб клеток: по сетке на графике можно точно прочитать координаты точек.
Эти же навыки пригодятся во второй части ОГЭ, где нужно построить график и найти, при каких значениях прямая пересекает его в заданном числе точек. Такие задачи, по сути, младшие сёстры параметра из ЕГЭ, о котором мы писали в статье о параметре графически.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что делать, если графиков больше трёх?
Алгоритм тот же: сначала разделить по видам, потом проверять признаки внутри каждого вида. Обычно хватает двух вопросов на график.
Бывают ли в задании другие функции?
В основном прямые, параболы и гиперболы. Иногда встречаются корень y = √x или графики со сдвигами, но признаки те же: направление, пересечения с осями, положение точек.