Задание 11 ЕГЭ профиль: текстовые задачи

Движение, работа, смеси и сплавы: составить уравнение и решить. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 63 задачи с ответами и решениями, на этой странице 1–10.

Задачи на движениеДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ
Два велосипедиста одновременно отправились в $90$ -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 15
Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 5$ . Первый был в пути на $3$ часа меньше:
$\frac{90}{x} - \frac{90}{x + 5} = 3.$
$\dfrac{450}{x(x + 5)} = 3$ , $x^2 + 5x - 150 = 0$ , $x = 10$ (корень $-15$ не подходит). Скорость первого $10 + 5 = 15$ км/ч.
Отдельная страница задачи
Смеси и сплавыДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ
Смешав $45$ %-й и $97$ %-й растворы кислоты и добавив $10$ кг чистой воды, получили $62$ %-й раствор кислоты. Если бы вместо $10$ кг воды добавили $10$ кг $50$ %-го раствора той же кислоты, то получили бы $72$ %-й раствор кислоты. Сколько килограммов $45$ %-го раствора использовали для получения смеси?
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 15
Пусть взяли $x$ кг $45$ %-го и $y$ кг $97$ %-го раствора, кислоты в них $0{,}45x + 0{,}97y$ .
С водой: $0{,}45x + 0{,}97y = 0{,}62(x + y + 10)$ .
С $50$ %-м раствором: $0{,}45x + 0{,}97y + 5 = 0{,}72(x + y + 10)$ .
Вычтем первое уравнение из второго: $5 = 0{,}1(x + y + 10)$ , $x + y = 40$ . Тогда $0{,}45x + 0{,}97(40 - x) = 0{,}62 \cdot 50$ , $38{,}8 - 0{,}52x = 31$ , $x = 15$ .
Отдельная страница задачи
Задачи на работуДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ
Заказ на изготовление $112$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на $2$ детали больше?
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 14
Пусть второй делает $x$ деталей в час, первый $x + 2$ . Первый тратит на заказ на час меньше:
$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 2} = 1.$
$224 = x(x + 2)$ , $x^2 + 2x - 224 = 0$ , $x = 14$ (корень $-16$ не подходит).
Отдельная страница задачи
Смеси и сплавыОткрытый банк ФИПИ
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45% меди, второй — 20% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 30 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 50
Пусть второй сплав весит $x$ кг, тогда первый $x + 30$ . Меди в них $0{,}45(x + 30) + 0{,}2x$ , а в третьем сплаве массой $2x + 30$ её $0{,}4(2x + 30)$ .
Приравниваем: $x = 10$ . Масса третьего сплава $2 \cdot 10 + 30 = 50$ кг.
Отдельная страница задачи
Средняя скоростьОткрытый банк ФИПИ
Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 55
Путь: $115 + 3 \cdot 45 + 2 \cdot 40 = 330$ км за $1 + 3 + 2 = 6$ ч. Средняя скорость $\dfrac{330}{6} = 55$ км/ч.
Отдельная страница задачи
Совместная работаОткрытый банк ФИПИ
Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 15
За час первый делает $\frac1{40}$ заказа, второй $\frac1{24}$ , вместе $\frac{3}{120} + \frac{5}{120} = \frac{1}{15}$ . Значит, весь заказ они выполнят за $15$ ч.
Отдельная страница задачи
Движение по водеОткрытый банк ФИПИ
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 18
В движении теплоход был $13 - 4 = 9$ ч. Пусть его скорость в неподвижной воде $v$ км/ч:
$\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9.$
$160v = 9(v^2 - 4)$ . Положительный корень этого уравнения $v = 18$ .
Отдельная страница задачи
Движение по водеОткрытый банк ФИПИ
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 27 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 32 часа после отправления из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 728
В движении теплоход был $32 - 5 = 27$ ч. Пусть расстояние в одну сторону $d$ км:
$\frac{d}{28} + \frac{d}{26} = 27.$
$d \cdot \dfrac{54}{728} = 27$ , $d = 364$ . За весь рейс туда и обратно $2 \cdot 364 = 728$ км.
Отдельная страница задачи
Средняя скоростьОткрытый банк ФИПИ
Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 90
Время: $\frac{120}{60} + \frac{200}{100} + \frac{160}{120} = 2 + 2 + \frac43 = \frac{16}{3}$ ч. Путь $480$ км. Средняя скорость $480 : \frac{16}{3} = 90$ км/ч.
Отдельная страница задачи
Задачи на работуОткрытый банк ФИПИ
Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?
Ваш ответ
Показать ответ и решение
Ответ: 18
Пусть первый делает $x$ деталей в час, второй $x - 7$ . Первый выполняет заказ на $7$ ч быстрее:
$\frac{198}{x - 7} - \frac{198}{x} = 7.$
$1386 = 7x(x - 7)$ , откуда $x = 18$ .
Отдельная страница задачи

Разберём задание 11 с преподавателем

Первый урок бесплатный: покажем, где теряются баллы, и составим план до экзамена

Записаться на пробный урок