Задание 22 ОГЭ по математике: график с параметром
Двадцать второй номер ОГЭ по математике кажется самым страшным в алгебре второй части, хотя схема у него одна. Нужно построить график функции, а затем выяснить, при каких значениях параметра прямая имеет с ним заданное число общих точек. Почти всегда прямая горизонтальная, y = m, и её удобно «двигать» по рисунку снизу вверх.
Для 9 класса. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Схема решения
- Упростить функцию. Сократить дробь, раскрыть модуль на промежутках. Записать ограничения: где знаменатель равен нулю, там будет выколотая точка.
- Построить график по опорным точкам: вершины парабол, точки излома, выколотые точки. Подписать координаты.
- Двигать прямую. Мысленно поднимать прямую y = m снизу вверх и считать, сколько раз она пересекает график.
- Записать ответ только для тех m, где число точек совпадает с требуемым.
Два балла ставят, если график построен верно и все значения параметра найдены верно. Если график верный, а значения найдены с ошибкой, обычно ставят один балл. Поэтому даже при сомнениях в ответе стоит аккуратно довести график.
Два полных решения
Функция с модулем
Постройте график функции y = x² − 2|x| − 3 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
При x ≥ 0: y = x² − 2x − 3, это парабола с вершиной (1; −4). При x < 0: y = x² + 2x − 3, вершина (−1; −4).
График симметричен относительно оси y и похож на букву W. В точке x = 0 значение y = −3, это верхушка между двумя ямами.
Двигаем прямую y = m: при m < −4 точек нет, при m = −4 две (вершины), при −4 < m < −3 четыре, при m = −3 три (две по краям и точка (0; −3)), при m > −3 две.
Ответ: m = −3
Функция с выколотой точкой
Постройте график функции y = (x² + 1)(x − 2)/(2 − x) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Область определения: x ≠ 2. При x ≠ 2 дробь (x − 2)/(2 − x) = −1, значит, y = −(x² + 1) = −x² − 1.
Это парабола ветвями вниз с вершиной (0; −1), но точка при x = 2 выколота: y(2) = −5, точка (2; −5) на графике пустая.
Прямая y = m имеет одну общую точку в вершине при m = −1. При m = −5 одна из двух точек пересечения выколота, остаётся только (−2; −5). При остальных m < −1 точек две, при m > −1 ни одной.
Ответ: m = −1; m = −5
Как построить график без ошибок
Возьмите клетку за единицу и отметьте все опорные точки до того, как вести линию: вершины, точки на оси y, концы промежутков. Для параболы полезно ещё по две точки с каждой стороны от вершины: при сдвиге на 1 значение меняется на a, при сдвиге на 2 на 4a.
Выколотую точку рисуйте пустым кружком и подписывайте её координаты. Проверяющий смотрит, есть ли она на рисунке, потому что именно из-за неё меняется ответ.
Если в функции модуль, раскройте его на каждом промежутке отдельно и подпишите, где какая формула. Ошибка в знаке при раскрытии модуля даёт неверный график и ноль баллов.
Проверь себя
- y = x² − 2|x| − 3: при каких m ровно четыре общие точки с прямой y = m? Ответ: −4 < m < −3.
- y = (x² + 1)(x − 2)/(2 − x): при каких m ровно две общие точки? Ответ: m < −1, кроме m = −5.
- y = |x| − 2: при каких m прямая y = m не имеет общих точек с графиком? Ответ: m < −2.
Где теряют балл
- Забытая выколотая точка. Без неё теряется одно из значений параметра.
- Неподписанный график. Без координат опорных точек проверяющий не может убедиться, что график построен верно.
- Граничные значения m. При m, равном значению в вершине или в точке излома, число точек особое. Проверяйте эти случаи отдельно.
Как тренироваться
Начните с трёх типов: модуль, выколотая точка, кусочная функция из двух частей. По каждому решите три-четыре задачи с полным рисунком. Задачи по номерам первой части собраны в задачнике ОГЭ.
Как читать графики прямой, параболы и гиперболы, мы разобрали в статье графики функций на ОГЭ. Все номера экзамена в статье ОГЭ по математике по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли построить график на черновике и перенести только ответ?
Нет, рисунок должен быть в бланке ответов: без него задание не засчитают, даже если значения m верные.
Бывает ли прямая не горизонтальной?
Иногда прямая y = kx проходит через начало координат и вращается. Схема та же: поворачивайте прямую и считайте точки пересечения.