Задание 13 профильного ЕГЭ: финансовая задача
До 2026 года финансовая задача стояла во второй части и требовала полного решения на два балла. В проекте ЕГЭ 2027 её перенесли в первую часть под номером 13: теперь нужен только ответ числом, а сама задача стала короче. Моделей по-прежнему три, и каждую стоит понимать, а не помнить формулой.
По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год. После утверждения демоверсии сверим формулировки.
Три модели
- Вклад с капитализацией. Каждый год сумма умножается на q = 1 + r/100. Через n лет на счёте S·qⁿ.
- Кредит равными платежами (аннуитет). Каждый год долг умножается на q, затем вносится один и тот же платёж x. Последний платёж обнуляет долг.
- Кредит с равномерным уменьшением долга (дифференцированный). Тело долга каждый год уменьшается на одну и ту же сумму, а проценты начисляются на остаток. Платежи с каждым годом меньше.
Простые проценты, когда процент каждый раз считается от исходной суммы, тоже встречаются, но реже. Их формула S·(1 + n·r/100).
Главная привычка: проценты переводим в множитель. 10 % годовых значит q = 1,1, рост на 25 % значит 1,25, снижение на 20 % значит 0,8. Дальше задача превращается в умножение.
Разбор задач
Вклад на три года
Вклад 200 000 рублей положили под 10 % годовых, проценты каждый год прибавляются к вкладу. Сколько рублей будет на счёте через 3 года?
Каждый год сумма умножается на 1,1.
200 000·1,1³ = 200 000·1,331 = 266 200.
Ответ: 266 200
Сколько лет ждать
Вклад растёт на 10 % в год с капитализацией. Через сколько полных лет он впервые станет больше чем в 1,5 раза?
1,1² = 1,21, 1,1³ = 1,331, 1,1⁴ = 1,4641, 1,1⁵ = 1,61051.
Впервые больше 1,5 после пятого года.
Ответ: 5
Аннуитетный кредит на два года
Кредит 110 000 рублей взят на 2 года под 20 % годовых. Каждый год после начисления процентов вносится одинаковый платёж, и через 2 года долг погашен. Найдите размер платежа.
После первого года долг 110 000·1,2 − x = 132 000 − x.
После второго (132 000 − x)·1,2 − x = 0, то есть 158 400 = 2,2x.
x = 72 000. Проверка: 132 000 − 72 000 = 60 000, 60 000·1,2 = 72 000.
Ответ: 72 000
Дифференцированный кредит
Кредит 600 000 рублей взят на 3 года под 10 % годовых. Каждый год долг уменьшается на одну и ту же сумму, а проценты начисляются на остаток. Найдите общую сумму выплат.
Тело долга уменьшается на 200 000 в год. Остатки: 600 000, 400 000, 200 000.
Проценты: 60 000, 40 000, 20 000, всего 120 000.
Общая сумма выплат 600 000 + 120 000 = 720 000.
Ответ: 720 000
Простые проценты
На счёт положили 50 000 рублей под 8 % годовых, проценты начисляются только на исходную сумму. Сколько будет на счёте через 3 года?
Каждый год прибавляется 50 000·0,08 = 4000.
50 000 + 3·4000 = 62 000.
Ответ: 62 000
Изменение цены
Цену товара 1000 рублей снизили на 20 %, а затем повысили на 25 %. Какой стала цена?
1000·0,8 = 800, 800·1,25 = 1000.
Цена вернулась к исходной: 0,8·1,25 = 1.
Ответ: 1000
Проверь себя
- Вклад 100 000 под 20 % годовых с капитализацией на 2 года. Ответ: 144 000.
- Кредит 300 000 на 3 года под 10 %, долг уменьшается равномерно. Сколько составит первый платёж? Ответ: 130 000.
- Кредит 210 000 на 2 года под 10 % двумя равными платежами. Найдите платёж. Ответ: 121 000.
- Цену подняли на 10 %, потом ещё на 10 %. На сколько процентов она выросла всего? Ответ: 21.
В третьей задаче удобно сразу записать уравнение для двух лет: S·q² = x·q + x. Отсюда x = 210 000·1,21/2,1 = 121 000.
Где теряют балл
- Сложные проценты как простые. При капитализации за три года по 10 % получается 33,1 %, а не 30 %.
- Порядок действий в кредите. Сначала начисляются проценты, потом вносится платёж. Если поменять местами, ответ другой.
- Что спрашивают. Платёж, общая сумма выплат или переплата: это три разных числа.
- Пробелы в ответе. В бланк число пишется без пробелов и единиц: 266200.
Как тренироваться
Решите по пять задач на каждую модель и для каждой нарисуйте таблицу по годам: долг в начале года, проценты, платёж, долг в конце. Через пару недель таблица будет не нужна. Задачи с ответами в задачнике, задание 13.
Подробная теория обеих схем кредита, включая длинные сроки, в статье финансовые задачи ЕГЭ. Как изменился экзамен целиком, в статье ЕГЭ по профильной математике 2027.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли теперь оформлять решение экономической задачи?
По проекту 2027 года нет: задание в первой части, в бланк идёт только ответ. Но таблица на черновике по-прежнему лучший способ не ошибиться.
Будут ли задачи на 10–20 лет, как раньше во второй части?
В проекте задание упрощено. Длинные сроки решаются через формулы, но для одного балла составители, скорее всего, выберут короткие задачи. Окончательно это станет ясно по утверждённой демоверсии.