Задание 18 профильного ЕГЭ: планиметрия
Геометрия с доказательством в профильном ЕГЭ 2027 года стоит под номером 18, в 2026 году это было задание 17. За неё дают до трёх баллов, и это одно из немногих заданий, где баллы удобно собирать по частям: доказать пункт а, даже если не вышел пункт б, или решить пункт б, опираясь на утверждение из а.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Как устроено задание
В пункте а нужно доказать утверждение о фигуре: подобие треугольников, равенство углов, что точки лежат на одной окружности. В пункте б найти длину, угол или площадь, и почти всегда доказанное в а помогает решить б.
Полный балл ставят за доказательство а и обоснованный верный ответ в б. Если доказать а не получилось, всё равно стоит решать б, пользуясь утверждением из а: такое решение тоже приносит балл.
- Подобие треугольников: трапеция, пересекающиеся хорды, высота прямоугольного треугольника.
- Вписанные углы: равны, если опираются на одну дугу.
- Касательные: отрезки касательных из одной точки равны, радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
- Площади: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента.
Три задачи
Трапеция
Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. а) Докажите, что треугольники BOC и AOD подобны. б) Найдите площадь треугольника AOD, если BC = 3, AD = 6, а площадь треугольника BOC равна 4.
а) Углы BOC и AOD вертикальные, значит, равны. BC ∥ AD, поэтому углы CBO и ADO равны как накрест лежащие при секущей BD. Треугольники подобны по двум углам.
б) Коэффициент подобия AD/BC = 2.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: S(AOD) = 4·2² = 16.
Ответ: 16
Высота прямоугольного треугольника
В треугольнике ABC угол C прямой, CH высота. а) Докажите, что CH² = AH·HB. б) Найдите площадь треугольника ABC, если AH = 4, HB = 9.
а) Треугольники ACH и CBH прямоугольные. Угол ACH равен 90° − ∠A, угол CBH тоже равен 90° − ∠A. Значит, они подобны, и AH/CH = CH/HB, то есть CH² = AH·HB.
б) CH² = 36, CH = 6, AB = 13.
S = AB·CH/2 = 13·6/2 = 39.
Ответ: 39
Вписанная окружность
В прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c вписана окружность радиуса r. а) Докажите, что r = (a + b − c)/2. б) Найдите r, если катеты равны 6 и 8.
а) Отрезки касательных из вершины прямого угла равны r: вместе с радиусами они образуют квадрат. Значит, катеты делятся точками касания на r и a − r, на r и b − r.
Отрезки касательных из острых вершин равны: гипотенуза c = (a − r) + (b − r), откуда r = (a + b − c)/2.
б) c = √(36 + 64) = 10, r = (6 + 8 − 10)/2 = 2.
Ответ: 2
С чего начинать, если идей нет
Сделайте большой и аккуратный чертёж, не меньше трети страницы. Отметьте все равные углы, которые видите: вертикальные, накрест лежащие, вписанные на одной дуге. Чаще всего подобие или равенство само проступает из отметок.
Если в задаче есть окружность, проведите радиусы в точки касания и соедините центр с вершинами. Если есть параллельные прямые, ищите подобные треугольники по накрест лежащим углам.
Проверь себя
- Хорды AB и CD пересекаются в точке P, AP = 4, PB = 6, CP = 3. Найдите PD. Ответ: 8.
- В трапеции с основаниями 4 и 12 площадь треугольника, прилежащего к меньшему основанию и образованного диагоналями, равна 3. Найдите площадь треугольника у большего основания. Ответ: 27.
- Из точки к окружности радиуса 5 проведена касательная длиной 12. Найдите расстояние от точки до центра. Ответ: 13.
Где теряют балл
- Доказательство по рисунку. «Видно, что углы равны» не доказательство. Каждое равенство нужно обосновать теоремой.
- Порядок вершин в подобии. Записывайте подобные треугольники так, чтобы соответствующие вершины стояли на одинаковых местах, иначе отношения сторон перепутаются.
- Брошенный пункт б. Если пункт а не вышел, пункт б всё равно можно решить, пользуясь утверждением а.
Как тренироваться
Выучите десяток опорных фактов: признаки подобия, свойства вписанных углов, касательных, биссектрисы и медианы. Потом решайте по одной задаче в день с полным оформлением. Первая часть по геометрии в статье планиметрия первой части, стереометрия второй части в статье задание 15.
Задачи по всем номерам с ответами в задачнике по профильной математике.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Стоит ли браться за восемнадцатый номер, если цель 70 баллов?
Пункт а часто доступнее, чем кажется, и даёт балл. Если на первую часть и задания 14 и 16 осталось время, попробуйте хотя бы его.
Можно ли пользоваться формулами без доказательства?
Теоремы из школьного курса можно применять со ссылкой на них. Доказывать нужно только то, что требует условие.