Задание 16 профильного ЕГЭ: неравенства
Неравенство во второй части профильного ЕГЭ стоит два балла. В 2027 году у него номер 16, а в 2026 был 15. Это задание стоит решать всем, кто целится выше 70 баллов: типов немного, а оформление стандартное. Главная опасность не в алгебре, а в граничных точках и в ОДЗ.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Как ставят баллы
Два балла дают за обоснованно полученный верный ответ. Один балл обычно ставят, если решение верное, но ответ отличается граничными точками: точку включили, когда её нужно исключить, или наоборот. Если ошибка в самом ходе решения, баллов не будет.
Отсюда правило: каждую граничную точку проверяйте отдельно. Она входит в ответ, если неравенство нестрогое и в этой точке выражение определено.
Три полных решения
Показательное с заменой
Решите неравенство 4ˣ − 5·2ˣ + 4 ≤ 0.
4ˣ = (2ˣ)². Пусть t = 2ˣ, t > 0.
t² − 5t + 4 ≤ 0, корни 1 и 4, значит, 1 ≤ t ≤ 4.
1 ≤ 2ˣ ≤ 4, то есть 2⁰ ≤ 2ˣ ≤ 2². Основание больше 1, знак сохраняется: 0 ≤ x ≤ 2.
Ответ: [0; 2]
Логарифмическое с ОДЗ
Решите неравенство log₂(x − 1) + log₂(x + 1) ≤ 3.
ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, то есть x > 1.
На ОДЗ сумма логарифмов равна log₂((x − 1)(x + 1)) = log₂(x² − 1).
log₂(x² − 1) ≤ log₂ 8, основание больше 1: x² − 1 ≤ 8, x² ≤ 9, −3 ≤ x ≤ 3.
С учётом ОДЗ: 1 < x ≤ 3.
Ответ: (1; 3]
Рациональное методом интервалов
Решите неравенство (x² − 4)/(x − 1) ≥ 0.
Нули числителя −2 и 2, нуль знаменателя 1, он в ответ не входит.
Отмечаем точки на прямой и берём пробные значения: при x = −3 дробь отрицательна, при x = 0 положительна, при x = 1,5 отрицательна, при x = 3 положительна.
Нужны промежутки со знаком плюс и нули числителя: [−2; 1) и [2; +∞).
Ответ: [−2; 1) ∪ [2; +∞)
Как оформить в бланке
- Записать ОДЗ, если в неравенстве есть логарифмы, корни или дроби.
- Показать замену и условие на новую переменную: t > 0.
- Нарисовать прямую с отмеченными точками и знаками на промежутках.
- Вернуться к исходной переменной и пересечь результат с ОДЗ.
- Записать ответ промежутками со скобками нужного вида.
Проверяющий ищет обоснование каждого перехода. Фраза «основание больше 1, знак сохраняется» занимает секунду, но без неё переход выглядит случайным.
Ещё один тип: основание меньше единицы
Логарифм с дробным основанием
Решите неравенство log₁/₃(2x − 1) > −2.
ОДЗ: 2x − 1 > 0, x > 0,5.
−2 = log₁/₃ 9, потому что (1/3)⁻² = 9. Неравенство: log₁/₃(2x − 1) > log₁/₃ 9.
Основание меньше 1, функция убывает, знак меняется: 2x − 1 < 9, x < 5.
С учётом ОДЗ: 0,5 < x < 5.
Ответ: (0,5; 5)
В таких неравенствах удобно сразу написать в решении фразу «основание 1/3 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства меняется». Это и есть обоснование перехода, без которого проверяющий может снять балл.
Если в одном неравенстве встретились и логарифм, и рациональная дробь, порядок такой же: ОДЗ, переход к рациональному неравенству, метод интервалов, пересечение с ОДЗ. Новых идей не нужно, только аккуратность.
Проверь себя
- 2^(x² − 3x) ≥ 1/4. Ответ: (−∞; 1] ∪ [2; +∞).
- log₀,₅(x − 3) ≥ −1. Ответ: (3; 5] (основание меньше 1, знак меняется).
- (x + 3)/(x − 2) ≤ 0. Ответ: [−3; 2).
- 9ˣ − 4·3ˣ + 3 > 0. Ответ: (−∞; 0) ∪ (1; +∞).
Где теряют балл
- Основание меньше единицы. При log с основанием 0,5 или степени с основанием 1/3 знак неравенства меняется.
- ОДЗ после преобразований. Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения только при условии, что каждый логарифм определён. ОДЗ записывайте до преобразований.
- Нуль знаменателя в ответе. Даже при нестрогом знаке точка, где знаменатель равен нулю, исключается.
- Замена без условия. Если не написать t > 0, легко оставить отрицательные t, которых 2ˣ никогда не принимает.
Как тренироваться
Хватает трёх типов: показательные с заменой, логарифмические с ОДЗ и рациональные. Решайте по одному неравенству в день с полным оформлением и сверяйте каждую граничную точку. Задачи первой части по номерам собраны в задачнике по профильной математике.
Логарифмические неравенства подробно разобраны в статье логарифмические неравенства, метод интервалов на простых примерах в статье линейные неравенства с упражнениями.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли решать без метода интервалов?
Можно, например, системами. Но метод интервалов короче и проверяющим привычнее, поэтому лучше освоить его.
Сколько времени тратить на шестнадцатый номер?
Около 15–20 минут вместе с оформлением. Если решение затянулось, перейдите к следующему заданию и вернитесь.