Задание 17 профильного ЕГЭ: задача на модель
Задание 17 появилось во второй части в проекте демоверсии ФИПИ на 2027 год. Оно проверяет умение перевести реальную ситуацию на язык математики: составить функцию, найти её наибольшее или наименьшее значение и объяснить ответ. В демоверсии на выбор две физические задачи: о наибольшей мощности генератора и о периоде волны, при котором качка корабля сильнее всего. По проекту задание стоит два балла.
По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год. После утверждения демоверсии сверим формулировки и критерии.
Алгоритм решения
- Выбрать переменную. Что можно менять: сопротивление, цену, размер выреза.
- Составить функцию. Записать величину, которую нужно сделать наибольшей, через эту переменную. Указать, в каких пределах переменная может меняться.
- Найти производную и точки, где она равна нулю.
- Обосновать экстремум. Показать знаки производной слева и справа от точки: плюс, затем минус значит максимум.
- Ответить на вопрос задачи. Иногда спрашивают не саму точку, а значение функции в ней.
Тему наибольшего значения функции в 2027 году убрали из первой части. По сути она переехала сюда, только теперь функцию нужно сначала составить самому.
Три решения
Мощность во внешней цепи
Источник с ЭДС E = 12 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключён к нагрузке R. Мощность на нагрузке P(R) = E²R/(R + r)². При каком R мощность наибольшая и чему она равна?
P′(R) = E²·((R + r)² − 2R(R + r))/(R + r)⁴ = E²·(r − R)/(R + r)³.
P′ = 0 при R = r. При R < r производная положительна, при R > r отрицательна, значит, R = r точка максимума.
R = 2 Ом, P = 144·2/16 = 18 Вт.
Ответ: R = 2 Ом, P = 18 Вт
Прибыль фирмы
Спрос на товар при цене p рублей равен q = 100 − 2p штук, себестоимость одной штуки 10 рублей. При какой цене прибыль наибольшая и чему она равна?
Прибыль П(p) = (p − 10)(100 − 2p) = −2p² + 120p − 1000, где 10 ≤ p ≤ 50.
П′(p) = −4p + 120 = 0 при p = 30. Слева производная положительна, справа отрицательна.
П(30) = 20·40 = 800.
Ответ: p = 30, прибыль 800
Коробка из листа
Из квадратного листа картона со стороной 30 см по углам вырезают одинаковые квадраты со стороной x и сгибают открытую коробку. При каком x объём коробки наибольший?
V(x) = x(30 − 2x)², где 0 < x < 15.
V′(x) = (30 − 2x)² − 4x(30 − 2x) = (30 − 2x)(30 − 6x).
На промежутке (0; 15) производная обращается в ноль при x = 5: слева плюс, справа минус. Это максимум, V(5) = 5·400 = 2000 см³.
Ответ: x = 5 см
Что писать в бланке
Чтобы получить оба балла, в решении должны быть видны три вещи: функция с указанием, откуда она взялась и в каких пределах меняется переменная; исследование производной с обоснованием, что найденная точка именно максимум; ответ на тот вопрос, который задан. Точные критерии появятся в утверждённой демоверсии, но без этих трёх частей решение не будет полным.
Удобно рисовать маленькую схему знаков производной: прямая, точка, плюс слева, минус справа. Это и есть обоснование максимума, его проверяющий увидит сразу.
Проверь себя
- Прямоугольный участок огораживают забором длиной 40 м. Найдите наибольшую площадь. Ответ: 100 м² (квадрат 10 на 10).
- Тело движется по закону s(t) = 12t − t³ при 0 ≤ t ≤ 3. В какой момент его координата наибольшая? Ответ: t = 2.
- Произведение двух положительных чисел с суммой 18 наибольшее при каких числах? Ответ: 9 и 9.
Где теряют балл
- Нет области изменения переменной. У коробки x меньше 15, у цены нижняя граница себестоимость. Без этого корень x = 15 выглядит допустимым.
- Нет обоснования максимума. «Производная равна нулю, значит, максимум» неверно: это может быть минимум.
- Ответ не на тот вопрос. Спросили объём, а записали x, или наоборот.
Как тренироваться
Сначала уверенно находите производные: степени, произведение, частное. Потом решайте задачи на наибольшее значение готовой функции, а затем переходите к задачам, где функцию нужно составить. Как читать производную по графику, мы разобрали в статье задание 9, а наибольшее значение функции в статье наибольшее и наименьшее значение.
Задачи первой части по номерам с ответами собраны в задачнике по профильной математике.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли знать физику для этого задания?
Формулы даются в условии. Нужно понимать, что меняется и что требуется сделать наибольшим, а дальше работает обычная производная.
Можно ли найти максимум без производной?
Для квадратичной функции можно через вершину параболы, это засчитывают. Для дробей и кубических функций без производной не обойтись.