Задание 14 ОГЭ по математике: прогрессии
Четырнадцатый номер ОГЭ по математике про прогрессии, но чаще всего слово «прогрессия» в условии не звучит. Спортсмен каждый день пробегает на полкилометра больше, бактерии удваиваются каждые 20 минут, в каждом следующем ряду на два кресла больше. Распознать прогрессию в тексте и есть главная часть решения.
Для 8–9 классов. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Формулы
Арифметическая: каждый раз прибавляем d
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2
Геометрическая: каждый раз умножаем на q
bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
Как узнать прогрессию в тексте: «на столько-то больше» значит арифметическая, «в столько-то раз больше» или «удваивается» значит геометрическая.
Разбор задач
Десятый член
a₁ = 3, d = 4. Найдите a₁₀.
a₁₀ = 3 + 9·4.
= 39.
Ответ: 39
Сумма десяти членов
Для той же прогрессии найдите сумму первых 10 членов.
S₁₀ = (3 + 39)·10/2.
= 210.
Ответ: 210
Разность по двум членам
В арифметической прогрессии a₃ = 7, a₇ = 19. Найдите d.
От a₃ до a₇ четыре шага: 4d = 19 − 7 = 12.
d = 3.
Ответ: 3
Геометрическая
b₁ = 2, q = 3. Найдите b₅.
b₅ = 2·3⁴ = 2·81.
= 162.
Ответ: 162
Сумма геометрической
Для той же прогрессии найдите сумму первых четырёх членов.
S₄ = 2·(3⁴ − 1)/(3 − 1) = 2·80/2.
= 80. Проверка: 2 + 6 + 18 + 54 = 80.
Ответ: 80
Тренировки
Спортсмен в первый день пробежал 2 км, а каждый следующий день на 0,5 км больше. В какой день он впервые пробежит 5 км?
Арифметическая прогрессия: 2 + 0,5(n − 1) = 5.
0,5(n − 1) = 3, n − 1 = 6, n = 7.
Ответ: 7
Бактерии
Число бактерий удваивается каждые 20 минут. Сначала их было 100. Сколько их будет через 2 часа?
За 2 часа шесть удвоений.
100·2⁶ = 100·64 = 6400.
Ответ: 6400
Как не ошибиться с номером члена
Самая частая ловушка четырнадцатого номера в счёте шагов. Если в первый день 2 км, то на седьмой день прибавок было шесть, а не семь. Поэтому в формуле стоит n − 1.
В задаче про бактерии та же логика, только со временем: через 2 часа прошло шесть промежутков по 20 минут, значит, шесть удвоений. Если сомневаетесь, выпишите первые три-четыре члена руками: 100, 200, 400, 800. Ошибку в номере сразу видно.
Какие сюжеты встречаются
- Тренировки и рабочие дни: каждый день на сколько-то больше.
- Ряды кресел и стопки: в каждом ряду на два места больше.
- Падающее тело: за каждую секунду проходит на 9,8 м больше.
- Бактерии и вирусы: число удваивается за равные промежутки.
- Лекарство или радиоактивный распад: количество уменьшается вдвое.
Лекарство
Пациенту дают 160 мг лекарства, и каждые 4 часа его количество в крови уменьшается вдвое. Сколько миллиграммов останется через 16 часов?
За 16 часов четыре промежутка по 4 часа.
160·(1/2)⁴ = 160/16 = 10.
Ответ: 10
Проверь себя
- a₁ = −5, d = 2. Найдите a₁₂. Ответ: 17.
- b₁ = 81, q = 1/3. Найдите b₄. Ответ: 3.
- Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Ответ: 5050.
- В первом ряду кинотеатра 20 кресел, в каждом следующем на 2 больше. Сколько кресел в 10-м ряду? Ответ: 38.
Где теряют балл
- n вместо n − 1. На седьмой день прибавок шесть.
- Член вместо суммы. «Сколько всего пробежал за неделю» это сумма, а «сколько пробежал в седьмой день» это член.
- Перепутанный вид прогрессии. «На 3 больше» и «в 3 раза больше» дают совсем разные ответы.
Как тренироваться
Решите по пять задач на каждую формулу, а потом десяток текстовых, где прогрессию нужно увидеть самому. Задания с ответами в задачнике ОГЭ, задание 14.
Теория и больше примеров в статье прогрессии.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Даются ли формулы прогрессий в справочных материалах ОГЭ?
Да, в справочных материалах ОГЭ по математике есть формулы n-го члена и суммы. Но понимать, что подставлять, всё равно нужно самому.
Бывают ли в четырнадцатом номере убывающие прогрессии?
Да: например, каждую минуту воды в баке становится на 5 литров меньше. Тогда d отрицательная, формулы те же.