Задание 2 профильного ЕГЭ: векторы
Задание 2 профильного ЕГЭ проверяет векторы на плоскости. Оно стоит один балл и решается за пару минут, если помнить пять формул. Сложного здесь нет, а ошибки обычно в знаках и в том, что путают координаты вектора с координатами точки.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Что проверяет задание 2
Во втором номере даны векторы своими координатами или нарисованы на клетчатой бумаге. Нужно найти длину вектора, координаты суммы или разности, скалярное произведение или косинус угла между векторами. Ответ всегда число: целое или конечная десятичная дробь.
Задание базового уровня, за него один первичный балл. По времени на него стоит тратить не больше трёх минут, чтобы осталось время на вторую часть.
Формулы, которые нужно знать
Пусть даны векторы a(x₁; y₁) и b(x₂; y₂).
Вектор по точкам: AB = (x_B − x_A; y_B − y_A) Длина: |a| = √(x₁² + y₁²) Сумма: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂) Умножение на число: k·a = (k·x₁; k·y₁) Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a|·|b|·cos φ
Из последней формулы следуют два важных вывода. Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению, делённому на произведение длин.
Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, координаты считают по клеткам: на сколько клеток конец правее начала (это x) и на сколько выше (это y). Влево и вниз значит со знаком минус.
Разбор типовых задач
Длина вектора
Даны точки A(1; 2) и B(4; 6). Найдите длину вектора AB.
Координаты вектора: из конца вычитаем начало, AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).
Длина: √(3² + 4²) = √25 = 5.
Ответ: 5
Скалярное произведение по координатам
Даны векторы a(2; 1) и b(−1; 3). Найдите скалярное произведение a·b.
Перемножаем x и y попарно и складываем: 2·(−1) + 1·3.
−2 + 3 = 1.
Ответ: 1
Длина суммы
Даны векторы a(5; 2) и b(−1; 1). Найдите длину вектора a + 2b.
2b = (−2; 2).
a + 2b = (5 − 2; 2 + 2) = (3; 4).
|a + 2b| = √(9 + 16) = 5.
Ответ: 5
Косинус угла
Даны векторы a(3; 4) и b(4; 3). Найдите косинус угла между ними.
a·b = 3·4 + 4·3 = 24.
|a| = 5, |b| = 5.
cos φ = 24 / (5·5) = 0,96.
Ответ: 0,96
Скалярное произведение через угол
Длины векторов a и b равны 4 и 3, угол между ними 60°. Найдите a·b.
a·b = |a|·|b|·cos 60°.
4·3·0,5 = 6.
Ответ: 6
Перпендикулярные векторы
Векторы a и b перпендикулярны, |a| = 3, |b| = 4. Найдите |a − b|.
Квадрат длины разности: |a − b|² = |a|² − 2·a·b + |b|².
Векторы перпендикулярны, значит, a·b = 0.
|a − b|² = 9 + 16 = 25, |a − b| = 5.
Ответ: 5
Какие формулировки встречаются
- Длина вектора по координатам или по рисунку на клетках.
- Координата суммы или разности. Например, «найдите абсциссу вектора a + b»: нужна только x-координата, а не весь вектор.
- Скалярное произведение по координатам или через длины и угол.
- Косинус угла между векторами или сам угол в градусах.
- Значение параметра, при котором векторы перпендикулярны или коллинеарны.
Последний тип пугает буквой, хотя решается в одну строку. Если a(2; m) и b(3; −6) перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: 6 − 6m = 0, m = 1. Если коллинеарны, координаты пропорциональны: 2/3 = m/(−6), m = −4.
Проверь себя
- a(−6; 8). Найдите |a|. Ответ: 10.
- a(1; 3), b(2; −1). Найдите абсциссу вектора 3a − b. Ответ: 1.
- a(2; m), b(3; −6), векторы перпендикулярны. Найдите m. Ответ: 1.
- a(2; m), b(3; −6), векторы коллинеарны. Найдите m. Ответ: −4.
- |a| = 2, |b| = 5, угол между векторами 120°. Найдите a·b. Ответ: −5.
Если все пять ответов сошлись, второй номер у вас под контролем. Если ошиблись в последнем, повторите значения косинуса: cos 120° = −0,5, это тупой угол, и скалярное произведение отрицательно.
Где теряют балл
- Начало минус конец. Координаты вектора AB считают как B минус A, а не наоборот. Для длины знак не важен, а для суммы и скалярного произведения важен.
- Скалярное произведение не вектор. Ответ в нём одно число. Если получилось «(−2; 3)», значит, перемножили координаты, но забыли сложить.
- Квадрат отрицательной координаты. (−3)² = 9, а не −9. На этом ошибаются чаще, чем кажется.
- Клетки на рисунке. Перед подсчётом найдите начало и конец по стрелке. Если перепутать, все координаты поменяют знак.
Как тренироваться
Второй номер быстро доводится до автоматизма. Хватает двух-трёх занятий по 20 минут: в первый день формулы и задачи по координатам, во второй векторы на клетчатой бумаге, в третий смешанный набор на время.
Задачи этого номера с ответами собраны в нашем задачнике, задание 2. Ещё больше упражнений на векторы в статье векторы: задачи с решениями. Как устроен весь экзамен, мы разобрали в статье ЕГЭ по профильной математике 2027.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Бывают ли во втором номере векторы в пространстве?
В заданиях открытого банка ФИПИ векторы плоские. Формулы для пространства те же, только добавляется третья координата z.
Нужно ли рисовать векторы на черновике?
Если векторы заданы координатами, нет. Если нарисованы на клетках, отметьте начало и конец каждого, это экономит время и защищает от ошибки в знаке.