Задание 5 профильного ЕГЭ: сложные события

Четыре правила

• Умножение. Если события независимы и нужно, чтобы случились оба: P(A и B) = P(A)·P(B).
• Сложение. Если события несовместны, то есть не могут случиться вместе: P(A или B) = P(A) + P(B). Если могут, вычитаем пересечение: P(A) + P(B) − P(A и B).
• Противоположное событие. «Хотя бы один» удобно считать как 1 минус вероятность того, что не было ни одного.
• Полная вероятность. Если результат зависит от того, какой из нескольких вариантов случился раньше, складываем произведения: P = P(H₁)·P(A | H₁) + P(H₂)·P(A | H₂).

Условная вероятность P(A | H) читается как «вероятность A, если известно, что случилось H». Её используют в задачах, где сначала выбирают фабрику, ящик или стрелка, а потом смотрят на результат.

Разбор задач

Как понять, какое правило нужно

Перед решением задайте себе два вопроса. Первый: нужно, чтобы случилось всё сразу, или хотя бы что-то одно? «Всё сразу» значит умножение, «хотя бы одно» значит противоположное событие или сложение. Второй: могут ли события случиться одновременно? Если могут, при сложении вычитаем пересечение.

Если в задаче есть этапы (сначала выбрали фабрику, потом проверили стекло), рисуйте дерево: на каждой ветке вероятность, а итог по ветке получается умножением. Нужные ветки потом складываются. Дерево снимает почти все ошибки в пятом номере.

Какие формулировки встречаются

• Серия выстрелов или бросков: какие именно попали, какие нет.
• «Хотя бы один»: хотя бы одна лампа горит, хотя бы один продавец свободен.
• Совместные события: два автомата, два магазина, два кружка.
• Этапы с ветвлением: две фабрики, медицинский тест, контроль качества.
• Выбор без возвращения: шары из урны, билеты, которые не возвращают обратно.

Проверь себя

• Биатлонист пять раз стреляет, вероятность попадания 0,8. Вероятность, что первые три раза он попал, а последние два промахнулся, с округлением до сотых. Ответ: 0,02 (точно 0,8³·0,2² = 0,02048).
• Две лампы работают независимо, каждая перегорает за год с вероятностью 0,3. Вероятность, что за год хотя бы одна останется исправной. Ответ: 0,91.
• В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Вынимают два без возвращения. Вероятность, что оба белые. Ответ: 0,3.
• Болеют 5 % людей. У больного тест положителен с вероятностью 0,9, у здорового с вероятностью 0,01. Вероятность положительного теста у случайного человека. Ответ: 0,0545.
• Два стрелка делают по выстрелу, вероятности попадания 0,7 и 0,6. Вероятность ровно одного попадания. Ответ: 0,46.

В последней задаче два несовместных случая: попал первый и промахнулся второй (0,7·0,4) или наоборот (0,3·0,6). Их вероятности складываются.

Где теряют балл

• Совместные события без вычитания. В задаче про автоматы 0,3 + 0,3 = 0,6 неверно: случай «закончилось в обоих» посчитан дважды.
• Перебор «хотя бы одного». Считать случаи «одно попадание», «два», «три» и складывать долго и легко ошибиться. Через противоположное одна строка.
• Проценты в вероятности. 2 % это 0,02, а не 2. Переводите сразу, как читаете условие.

Как тренироваться

Хорошо работает такой порядок: десять задач на умножение, десять на «хотя бы один», десять на полную вероятность, потом смешанный набор, где правило нужно выбрать самому. Задачи с ответами в задачнике, задание 5.

Простую вероятность повторите в статье задание 4, а новый номер про случайные величины разобран в статье задание 6.

Частые вопросы