Задание 2 ЕГЭ профиль: векторы

Координаты вектора, сумма, произведение на число, скалярное произведение. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 32 задачи с ответами и решениями, на этой странице 1–10.

1. Длина вектораДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   Даны векторы $\vec a\,(2;\,2)$ и $\vec b\,(2;\,-2)$. Найдите длину вектора $7\vec a - \vec b$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   $7\vec a = (14;\,14)$, поэтому $7\vec a - \vec b = (14 - 2;\; 14 + 2) = (12;\,16)$.

   Длина вектора: $\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20$.

   Отдельная страница задачи
2. Скалярное произведениеДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   Даны векторы $\vec a\,(5;\,3)$ и $\vec b\,(4;\,-6)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $5 \cdot 4 + 3 \cdot (-6) = 20 - 18 = 2$.

   Отдельная страница задачи
3. Длина вектораОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(25;\,0)$ и $\vec{b}(1;\,-5)$. Найдите длину вектора $\vec{a}-4\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 29

   Координаты вектора $\vec a - 4\vec b$: $(1 \cdot 25 - 4 \cdot 1;\; 1 \cdot 0 - 4 \cdot (-5)) = (21;\,20)$.

   Длина: $\sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{841} = 29$.

   Отдельная страница задачи
4. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(-\,13\,;\,4)$ и $\vec{b}(-\,6\,;\,1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 82

   Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $-13 \cdot (-6) + 4 \cdot 1 = 78 + 4 = 82$.

   Отдельная страница задачи
5. Длина вектораОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(1;\,1)$ и $\vec{b}(0;\,7)$. Найдите длину вектора $8\vec{a}+\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 17

   Координаты вектора $8\vec a + \vec b$: $(8 \cdot 1 + 1 \cdot 0;\; 8 \cdot 1 + 1 \cdot 7) = (8;\,15)$.

   Длина: $\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$.

   Отдельная страница задачи
6. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}\left(2;\,1\right)$ и $\vec{b}\left(2;\,-4\right)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}+\vec{b}$ и $7\vec{a}-\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   $\vec a + \vec b = (4;\,-3)$, $7\vec a - \vec b = (14 - 2;\; 7 + 4) = (12;\,11)$.

   Скалярное произведение: $4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15$.

   Отдельная страница задачи
7. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}\left(6;\,4\right)$ и $\vec{b}\left(5;\,-7\right)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $6 \cdot 5 + 4 \cdot (-7) = 30 - 28 = 2$.

   Отдельная страница задачи
8. Длина вектораОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(1;\,2)$ и $\vec{b}(2;\,-1)$. Найдите длину вектора $8\vec{a}+4\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Координаты вектора $8\vec a + 4\vec b$: $(8 \cdot 1 + 4 \cdot 2;\; 8 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)) = (16;\,12)$.

   Длина: $\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20$.

   Отдельная страница задачи
9. Длина вектораОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(31;\,0)$ и $\vec{b}(1;\,-1)$. Найдите длину вектора $\vec{a}-24\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   Координаты вектора $\vec a - 24\vec b$: $(1 \cdot 31 - 24 \cdot 1;\; 1 \cdot 0 - 24 \cdot (-1)) = (7;\,24)$.

   Длина: $\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.

   Отдельная страница задачи
10. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

    Даны векторы $\vec{a}(\,14;\,-\,2)$ и $\vec{b}(5\,;\,-\,8)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 86

    Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $14 \cdot 5 + -2 \cdot (-8) = 70 + 16 = 86$.

    Отдельная страница задачи