Задание 4 профильного ЕГЭ: простая вероятность
Четвёртый номер профильного ЕГЭ проверяет классическое определение вероятности. Формула одна, но задачи бывают с подвохом: в одних неочевидно, что считать всеми исходами, в других нужно перебрать варианты, а в третьих ответ просят округлить. Разбираем каждый тип.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Формула и что она значит
P(A) = m / n
Здесь n число всех равновозможных исходов, а m число тех, при которых событие A наступает. Вероятность всегда от 0 до 1. Если в ответе получилось больше единицы или отрицательное число, ошибка в подсчёте.
Полезное следствие: вероятность противоположного события равна 1 − P(A). Если считать «хорошие» исходы долго, иногда проще сосчитать «плохие» и вычесть из единицы.
Разбор задач
Билеты
В сборнике 25 билетов, в 10 из них есть вопрос по геометрии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете будет вопрос по геометрии.
Всех исходов 25, благоприятных 10.
P = 10/25 = 0,4.
Ответ: 0,4
Жребий
На конференцию приехали 20 учёных: 8 из России, 7 из Бразилии, остальные из Китая. Порядок докладов определяется жребием. Найдите вероятность того, что пятым будет доклад учёного из Китая.
Из Китая 20 − 8 − 7 = 5 учёных.
Номер выступления не влияет на ответ: на любое место с равной вероятностью попадает любой из 20.
P = 5/20 = 0,25.
Ответ: 0,25
Две монеты
Монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Все исходы: ОО, ОР, РО, РР, их 4.
Ровно один орёл в ОР и РО, это 2 исхода.
P = 2/4 = 0,5.
Ответ: 0,5
Два кубика с округлением
Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Ответ округлите до сотых.
Всех исходов 6·6 = 36.
Сумма 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), это 5 исходов.
P = 5/36 = 0,1388… ≈ 0,14.
Ответ: 0,14
Ловушка с браком
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Ответ округлите до сотых.
Всего сумок в такой партии не 100, а 100 + 8 = 108.
P = 100/108 = 0,925… ≈ 0,93.
Ответ: 0,93
Подруги в группах
30 участников случайным образом делят на три группы по 10 человек. Найдите вероятность того, что две подруги, Аня и Катя, окажутся в одной группе. Ответ округлите до сотых.
Пусть Аня уже попала в какую-то группу. Для Кати остаётся 29 мест.
В группе Ани свободно 9 мест.
P = 9/29 = 0,310… ≈ 0,31.
Ответ: 0,31
Какие формулировки встречаются
- Жребий и порядок выступлений: спортсмены, доклады, номера в очереди.
- Монеты и кубики: нужно перебрать все исходы.
- Качество товара: «из 1000 насосов в среднем 5 подтекают» или «на 100 качественных приходится 8 с дефектами».
- Выбор из группы: билеты, вопросы, шары, ученики.
- Распределение по группам: двое друзей в одной команде, в одном автобусе, за одним столом.
Каждый тип решается одной и той же формулой. Отличается только то, как сосчитать все исходы. Поэтому первым делом ответьте себе на вопрос: из чего именно выбирают и сколько вариантов всего.
Проверь себя
- В урне 4 красных и 6 синих шаров, вынимают один. Вероятность, что он красный. Ответ: 0,4.
- Монету бросают три раза. Вероятность, что все три раза выпадет орёл. Ответ: 0,125.
- Из 1000 насосов в среднем 5 подтекают. Вероятность, что случайный насос не подтекает. Ответ: 0,995.
- Кубик бросают дважды. Вероятность, что оба раза выпадет больше четырёх очков, с округлением до сотых. Ответ: 0,11.
- В классе 25 учеников, 5 из них отличники. Вероятность, что случайно выбранный ученик не отличник. Ответ: 0,8.
Обратите внимание на третью задачу: здесь «из 1000 подтекают 5», значит, всего 1000, а не 1005. Сравните с задачей про сумки выше, где формулировка другая.
Где теряют балл
- «На 100 качественных приходится 8». Это не 8 из 100, а 8 из 108. Если написано «из 100 сумок 8 бракованных», тогда всех 100.
- Неполный перебор. При двух кубиках (2; 6) и (6; 2) разные исходы. Удобнее всего выписывать пары таблицей 6 на 6.
- Округление. Если просят до сотых, ответ 0,14, а не 0,138 и не 0,1.
- Порядок выступления. Пятый, первый или последний доклад, вероятность одна и та же. Номер места часто стоит в условии для отвлечения.
Как тренироваться
Номер решается быстро, но требует внимательного чтения. Разберите по пять задач каждого типа: билеты и жребий, монеты, кубики, качество товара, группы. После этого четвёртый номер обычно перестаёт приносить ошибки.
Задачи с ответами в задачнике, задание 4. Теория с монетами и кубиками подробно в статье теория вероятностей в ЕГЭ и ОГЭ, а следующий, более сложный номер в статье задание 5: сложные события.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли дать ответ обыкновенной дробью?
Нет. В бланк ЕГЭ записывают целое число или конечную десятичную дробь. Если дробь бесконечная, в условии будет сказано, как округлить.
Чем задание 4 отличается от задания 5?
В четвёртом одно событие и прямой подсчёт исходов. В пятом события комбинируются: нужно складывать и перемножать вероятности, иногда пользоваться формулой полной вероятности.