Задание 6 профильного ЕГЭ: случайные величины
Задание 6 появилось в проекте демоверсии ФИПИ на 2027 год. Оно про случайные величины: закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. В учебниках по вероятности и статистике эта тема есть, но многие школы проходят её бегло. Хорошая новость: формул всего четыре, а задачи короткие.
По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год. После утверждения демоверсии сверим формулировки.
Что такое случайная величина
Случайная величина это число, которое зависит от случая: сколько очков выпало на кубике, сколько орлов выпало при трёх бросках, сколько бракованных деталей в коробке. Закон распределения это таблица: какие значения величина принимает и с какой вероятностью.
| Значение X | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Сумма всех вероятностей в законе распределения всегда равна 1. На этом построена самая простая задача шестого номера: найти пропущенную вероятность.
Четыре формулы
Математическое ожидание: E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ Дисперсия: D(X) = E(X²) − (E(X))² Стандартное отклонение: σ = √D(X) Сдвиг и растяжение: E(aX + b) = a·E(X) + b, D(aX + b) = a²·D(X)
Математическое ожидание это среднее значение, если опыт повторять много раз. Дисперсия показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего. Стандартное отклонение тот же разброс, но в исходных единицах: в очках, рублях, штуках.
Дисперсию можно считать и по определению, как среднее квадратов отклонений от E(X). Формула через E(X²) короче и реже приводит к ошибкам.
Разбор задач
Пропущенная вероятность
Случайная величина X принимает значения 1, 2, 3, 4 с вероятностями 0,1; 0,3; p; 0,2. Найдите p.
Сумма вероятностей равна 1: 0,1 + 0,3 + p + 0,2 = 1.
p = 1 − 0,6 = 0,4.
Ответ: 0,4
Математическое ожидание
Найдите математическое ожидание величины X из предыдущей задачи.
E(X) = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,4 + 4·0,2.
0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7.
Ответ: 2,7
Дисперсия и отклонение
Найдите дисперсию и стандартное отклонение той же величины X.
E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,4 + 16·0,2 = 0,1 + 1,2 + 3,6 + 3,2 = 8,1.
D(X) = 8,1 − 2,7² = 8,1 − 7,29 = 0,81.
σ = √0,81 = 0,9.
Ответ: D = 0,81, σ = 0,9
Преобразованная величина
Для той же X найдите E(2X + 3) и D(2X + 3).
E(2X + 3) = 2·2,7 + 3 = 8,4.
Прибавление числа разброс не меняет, а умножение на 2 увеличивает дисперсию в 4 раза: D = 4·0,81 = 3,24.
Ответ: 8,4 и 3,24
Кубик
Игральный кубик бросают один раз. Найдите математическое ожидание числа выпавших очков.
Каждое значение от 1 до 6 выпадает с вероятностью 1/6.
E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5.
Ответ: 3,5
Число орлов
Монету бросают два раза, X число выпавших орлов. Найдите дисперсию X.
X = 0 с вероятностью 1/4, X = 1 с вероятностью 1/2, X = 2 с вероятностью 1/4.
E(X) = 0 + 0,5 + 0,5 = 1.
E(X²) = 0 + 1·0,5 + 4·0,25 = 1,5, D = 1,5 − 1² = 0,5.
Ответ: 0,5
Лотерея
Билет лотереи стоит 100 рублей. С вероятностью 0,05 он выигрывает 1000 рублей, иначе ничего. Найдите математическое ожидание чистого выигрыша с одного билета.
Ожидаемый выигрыш: 1000·0,05 = 50 рублей.
Чистый выигрыш: 50 − 100 = −50 рублей. В среднем каждый билет приносит убыток.
Ответ: −50
Серия одинаковых испытаний
Отдельный частый случай: опыт повторяют n раз, и каждый раз успех наступает с одной и той же вероятностью p. Например, монету бросают 10 раз или стрелок делает 20 выстрелов. Число успехов X тоже случайная величина, и для неё есть короткие формулы:
E(X) = n·p, D(X) = n·p·(1 − p)
Монета, 10 бросков: ожидаемое число орлов 10·0,5 = 5, дисперсия 10·0,5·0,5 = 2,5. Стрелок с вероятностью попадания 0,8 за 20 выстрелов в среднем попадёт 16 раз. Таблицу распределения в таких задачах строить не нужно.
Проверь себя
- X принимает значения −1, 0, 2 с вероятностями 0,2; 0,5; 0,3. Найдите E(X). Ответ: 0,4.
- Для той же величины найдите D(X). Ответ: 1,24 (E(X²) = 1,4).
- Монету бросают 10 раз. Найдите дисперсию числа орлов. Ответ: 2,5.
- E(X) = 3, D(X) = 4. Найдите E(5 − 2X). Ответ: −1.
- Для той же величины найдите стандартное отклонение 5 − 2X. Ответ: 4 (дисперсия 16).
Где теряют балл
- Квадрат ожидания вместо ожидания квадрата. E(X²) и (E(X))² разные числа. В примере выше 8,1 и 7,29.
- Дисперсия при сдвиге. D(X + 3) = D(X). Сдвиг двигает все значения одинаково, разброс прежний.
- Отклонение без корня. Если спросили стандартное отклонение, а записали дисперсию, ответ неверный.
- Сумма вероятностей. Перед расчётами проверьте, что вероятности в таблице дают 1. Если нет, вы неверно прочитали условие.
Как тренироваться
Начните с пяти задач на пропущенную вероятность и ожидание, потом переходите к дисперсии. Считайте E(X²) отдельной строкой: так проще проверить себя. Задачи с ответами собраны в задачнике, задание 6.
Вероятности событий повторите в статьях задание 4 и задание 5. Все изменения экзамена описаны в статье ЕГЭ по профильной математике 2027.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Это задание точно будет на ЕГЭ 2027?
Оно есть в проекте демоверсии ФИПИ на 2027 год. Окончательно состав экзамена закрепят в утверждённой демоверсии, обычно её публикуют в начале учебного года.
Проходят ли эту тему в школе?
Да, случайные величины входят в курс вероятности и статистики 10–11 классов. Если в школе тему пропустили, на неё хватает трёх-четырёх занятий.
Как записать ответ, если спросили два числа?
На ЕГЭ в одном задании ответ всегда одно число. В разборе мы иногда считаем два значения подряд, чтобы показать связь, на экзамене спросят что-то одно.