Задание 7 профильного ЕГЭ: уравнения
В 2027 году простые уравнения переехали на седьмое место: раньше это был шестой номер. Суть та же: решить уравнение и записать корень. Типов шесть, у каждого свой приём и своя ловушка. Разбираем все по очереди.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Какие уравнения бывают
| Тип | Приём | Ловушка |
|---|---|---|
| Показательное | привести к одному основанию | дробные и отрицательные степени |
| Логарифмическое | по определению логарифма | проверить, что под логарифмом плюс |
| Иррациональное | возвести в квадрат | посторонние корни |
| Рациональное | умножить на знаменатель | знаменатель не равен нулю |
| Квадратное | дискриминант или Виет | в ответ нужен меньший или больший |
| Тригонометрическое | серии решений | наименьший положительный корень |
Если в уравнении несколько корней, в условии всегда сказано, какой записать: меньший, больший или наименьший положительный. Ответ в бланке один.
Разбор задач
Показательное
Решите уравнение 2^(x − 3) = 16.
16 = 2⁴, значит, x − 3 = 4.
x = 7.
Ответ: 7
Показательное с дробью
Решите уравнение (1/3)^(x − 8) = 9.
(1/3)^(x − 8) = 3^(8 − x), а 9 = 3².
8 − x = 2, x = 6.
Ответ: 6
Логарифмическое
Решите уравнение log₃(x + 4) = 2.
По определению логарифма x + 4 = 3² = 9.
x = 5. Проверка: под логарифмом 9, это больше нуля.
Ответ: 5
Логарифмы с двух сторон
Решите уравнение log₂(4 − x) = log₂(x + 2).
Основания одинаковые, приравниваем выражения: 4 − x = x + 2.
x = 1. Проверка: 4 − 1 = 3 и 1 + 2 = 3, оба больше нуля.
Ответ: 1
Иррациональное
Решите уравнение √(2x + 3) = x.
Возводим в квадрат: 2x + 3 = x², x² − 2x − 3 = 0.
Корни x = 3 и x = −1.
Проверка: корень не бывает отрицательным, а правая часть при x = −1 отрицательна. Подходит только 3.
Ответ: 3
Рациональное
Решите уравнение (x − 2)/(x + 3) = 2.
Умножаем на x + 3, помня, что x ≠ −3: x − 2 = 2x + 6.
x = −8. Знаменатель −8 + 3 = −5, не ноль.
Ответ: −8
Квадратное, меньший корень
Решите уравнение x² = 2x + 8. Если корней несколько, запишите меньший.
x² − 2x − 8 = 0, по теореме Виета корни 4 и −2.
Меньший −2.
Ответ: −2
Тригонометрическое
Найдите наименьший положительный корень уравнения cos(πx/3) = 1/2.
cos t = 1/2 при t = ±π/3 + 2πk.
πx/3 = ±π/3 + 2πk, отсюда x = ±1 + 6k.
Положительные корни: 1, 5, 7, 11… Наименьший 1.
Ответ: 1
Приём для каждого типа подробнее
Показательные. Ищите общее основание. Числа в седьмом номере почти всегда степени двойки, тройки или пятёрки: 8, 16, 32, 27, 81, 125, 0,25, 1/9. Дробь в основании переворачивается сменой знака показателя. Когда основания совпали, показатели приравниваются, и остаётся линейное уравнение.
Логарифмические. Если логарифм один, пользуйтесь определением: log_a x = c значит x = aᶜ. Если логарифмы с двух сторон и с одинаковым основанием, приравнивайте выражения под ними. После решения обязательно подставьте корень и убедитесь, что под каждым логарифмом получилось положительное число.
Иррациональные. Корень уединяют с одной стороны и возводят обе части в квадрат. Возведение в квадрат может добавить лишний корень, поэтому проверка подстановкой здесь не формальность, а часть решения.
Рациональные. Умножаем на знаменатель и решаем получившееся уравнение. Корень, при котором знаменатель обращается в ноль, вычёркиваем.
Тригонометрические. Записываем общее решение через серии, а потом перебираем k = 0, 1, −1 и смотрим, какой корень подходит под вопрос. Обычно спрашивают наименьший положительный или наибольший отрицательный корень.
Как быстро проверить ответ
В первой части нет оформления, поэтому проверка остаётся только для себя, но она обязательна. Подставьте корень в исходное уравнение, а не в преобразованное: ошибки обычно сидят как раз в преобразованиях. В показательных и логарифмических уравнениях подстановка занимает десять секунд, потому что числа подобраны удобными.
Если в иррациональном уравнении оба корня подошли, проверьте ещё раз: обычно один из них посторонний, и составители специально делают так, чтобы невнимательный ученик записал не тот.
Проверь себя
- 5^(x + 1) = 125. Ответ: 2.
- log₅(3x + 1) = 2. Ответ: 8.
- √(x + 7) = x + 1. Ответ: 2 (корень −3 посторонний).
- 9ˣ = 27. Ответ: 1,5.
- (x + 4)/(x − 2) = 3. Ответ: 5.
- Наименьший положительный корень sin(πx/6) = 1/2. Ответ: 1.
Где теряют балл
- Нет проверки в иррациональном. Возведение в квадрат добавляет посторонние корни. Подставьте каждый в исходное уравнение.
- Отрицательное число под логарифмом. После решения убедитесь, что все выражения под логарифмами больше нуля.
- Не тот корень. Перечитайте условие: меньший, больший или положительный. Запишите в бланк именно его.
- Знак при смене основания. (1/3)^a = 3^(−a). Минус в показателе забывают чаще всего.
Как тренироваться
Удобнее всего по одному типу за раз: десять показательных, десять логарифмических, десять иррациональных. Через неделю смешанный набор из всех типов на время, по минуте на уравнение. Задачи с ответами в задачнике, задание 7.
Теория по типам в отдельных статьях: показательные уравнения, логарифмические уравнения, иррациональные уравнения и квадратные уравнения. Уравнения с отбором корней из второй части разобраны в статье задание 14.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему уравнения теперь седьмые, а не шестые?
В 2027 году шестым номером стало новое задание про случайные величины, и задания с шестого по одиннадцатый сдвинулись на одно место.
Нужно ли писать ОДЗ?
В первой части в бланк идёт только ответ, оформление не проверяют. Но про ограничения думать нужно, иначе легко записать посторонний корень.