Задание 8 профильного ЕГЭ: вычисления

Свойства, которые нужны

Степени и корни

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^(1/n) = ⁿ√a (√a − √b)(√a + √b) = a − b

Логарифмы

log_a b + log_a c = log_a (bc), log_a b − log_a c = log_a (b/c) log_a bⁿ = n·log_a b, a^(log_a b) = b

Тригонометрия

sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α cos 2α = 1 − 2sin²α, sin 2α = 2 sin α cos α sin(360° − α) = −sin α, cos(180° − α) = −cos α

Разбор примеров

Что держать в голове без справочника

Степени. Квадраты чисел до 20, степени двойки до 2¹⁰ = 1024, степени тройки до 3⁵ = 243 и пятёрки до 5⁴ = 625. С ними любой показатель приводится к общему основанию в уме.

Логарифмы. Логарифм это показатель степени: log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. Если под логарифмом корень, это дробный показатель: log₃ √3 = 1/2. Если под логарифмом дробь, показатель отрицательный: log₂ (1/8) = −3. Четыре свойства из таблицы выше закрывают все примеры восьмого номера.

Тригонометрия. Значения синуса и косинуса для 30°, 45° и 60°: 1/2, √2/2 и √3/2 в разном порядке. Формулы приведения проще всего запомнить правилом: если угол отсчитывается от 90° или 270°, функция меняется на «ко-функцию» (синус на косинус, тангенс на котангенс), а от 180° и 360° остаётся прежней. Знак берём по той четверти, где лежит исходный угол.

Корни. Произведение корней равно корню из произведения: √48·√3 = √144 = 12. Из-под корня выносят полный квадрат: √50 = 5√2. Иррациональность в знаменателе убирают домножением на сопряжённое выражение.

В каком порядке упрощать

Удобный порядок такой. Сначала приведите всё к одинаковым основаниям: 4 = 2², 27 = 3³, 0,25 = 2⁻². Потом соберите показатели или логарифмы по свойствам. В тригонометрии сначала уберите большие углы формулами приведения, затем примените тождество или формулу двойного угла.

Если выражение длинное, переписывайте его после каждого шага целиком. Это кажется медленным, но экономит время на поиске ошибки.

Проверь себя

• √48·√3. Ответ: 12.
• log₃ 7 · log₇ 9. Ответ: 2.
• 3^(log₃ 5 + 2). Ответ: 45.
• ∛2 · ∛4. Ответ: 2.
• 5 tg 17° · tg 107°. Ответ: −5 (tg 107° = −ctg 17°).
• 10 cos α, если sin α = 0,6 и α ∈ (π/2; π). Ответ: −8.

Где теряют балл

• Знак в четверти. Синус и косинус из основного тождества всегда находятся с ±. Знак определяет четверть, в которой лежит угол.
• Сложение логарифмов с разными основаниями. Свойства работают только при одинаковом основании.
• Отрицательный показатель. Вычитание −4 это плюс 4. Записывайте показатели отдельной строкой, а не в уме.
• «Некрасивый» ответ. Если получилась длинная дробь, пересчитайте. В восьмом номере ответы почти всегда короткие.

Как тренироваться

Этот номер лучше других поддаётся тренировке на скорость. Решайте по 15 примеров в день, по одной группе свойств, а через неделю смешанные наборы. Задачи с ответами в задачнике, задание 8.

Свойства подробно в статьях логарифмы с нуля, степени и корни и тригонометрические формулы с упражнениями.

Частые вопросы