Задание 10 профильного ЕГЭ: задачи с формулой
В десятом номере профильного ЕГЭ дана задача из физики, экономики или жизни вместе с формулой. Знать физику не нужно: всё, что требуется, уже написано. Трудность в длинном условии и в том, что уравнение часто квадратное, и из двух корней подходит один.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Алгоритм из четырёх шагов
- Выписать формулу и подписать, что известно, а что нужно найти.
- Проверить единицы измерения: километры с метрами и минуты с часами в одной формуле не смешивают.
- Подставить числа и решить уравнение или неравенство.
- Выбрать корень по смыслу: время не бывает отрицательным, а если спрашивают «через сколько впервые», берут меньший.
Разбор задач
Брошенный мяч
Высота мяча, брошенного вверх, меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t² (h в метрах, t в секундах). Сколько секунд мяч находится на высоте не менее 3 м?
1,6 + 8t − 5t² ≥ 3, то есть 5t² − 8t + 1,4 ≤ 0.
D = 64 − 28 = 36, корни t = (8 ± 6)/10: 0,2 и 1,4.
Мяч выше 3 м между 0,2 и 1,4 с, это 1,4 − 0,2 = 1,2 с.
Ответ: 1,2
Мощность тока
Мощность тока вычисляется по формуле P = I²R. Найдите силу тока I (в амперах), если P = 245 Вт, R = 5 Ом.
I² = 245/5 = 49.
Сила тока положительна: I = 7.
Ответ: 7
Нагреватель
Температура нагревателя меняется по закону T(t) = T₀ + bt + at², где T₀ = 1400 К, b = 200 К/мин, a = −10 К/мин². При температуре выше 1760 К прибор может испортиться. Через сколько минут после включения его нужно выключить?
1400 + 200t − 10t² = 1760, то есть t² − 20t + 36 = 0.
Корни t = 2 и t = 18.
Температура впервые достигнет 1760 К через 2 минуты, дальше она станет выше. Выключить нужно через 2 минуты.
Ответ: 2
Линза
Для тонкой линзы с фокусным расстоянием f = 36 см верна формула 1/d₁ + 1/d₂ = 1/f. Предмет стоит на расстоянии d₁ = 45 см. На каком расстоянии d₂ (в см) получится чёткое изображение?
1/d₂ = 1/36 − 1/45 = (5 − 4)/180 = 1/180.
d₂ = 180.
Ответ: 180
Разгон автомобиля
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места, вычисляется по формуле v = √(2la), где l пройденный путь в км, a ускорение в км/ч². Найдите ускорение, если на пути 0,4 км автомобиль набрал скорость 100 км/ч.
Возводим в квадрат: v² = 2la, 10 000 = 2·0,4·a.
a = 10 000/0,8 = 12 500.
Ответ: 12 500
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия тела E = mv²/2. Тело массой 2 кг имеет энергию 25 Дж. Найдите его скорость в м/с.
25 = 2·v²/2, то есть v² = 25.
Скорость положительна: v = 5.
Ответ: 5
Какие формулы встречаются в банке
- Брошенное тело: высота как квадратичная функция времени.
- Нагреватели и остывание: температура как функция времени.
- Электричество: закон Ома, мощность, параллельное соединение R = R₁R₂/(R₁ + R₂).
- Оптика: формула тонкой линзы.
- Механика: путь при разгоне s = at²/2, кинетическая энергия, рычаг.
- Экономика: выручка, спрос и цена, проценты.
Повторяются не только формулы, но и ловушки: квадратное уравнение с двумя корнями и вопрос «сколько времени» вместо «в какой момент».
Проверь себя
- R₁ = 6 Ом, R₂ = 3 Ом, соединены параллельно, R = R₁R₂/(R₁ + R₂). Ответ: 2.
- h(t) = 2 + 9t − 5t². Сколько секунд камень находится на высоте не менее 6 м? Ответ: 0,2.
- s = at²/2, a = 4 м/с², s = 50 м. Найдите t. Ответ: 5.
- Линза f = 20 см, d₁ = 30 см. Найдите d₂. Ответ: 60.
- P = U²/R, U = 220 В, P = 1100 Вт. Найдите R. Ответ: 44.
Где теряют балл
- Не тот корень. В задаче про нагреватель 18 минут тоже корень, но к этому времени прибор уже испортится.
- «Сколько секунд» и «через сколько секунд». В задаче про мяч спрашивают длину промежутка, а не момент. Ответ 1,2, а не 0,2 или 1,4.
- Единицы. Если скорость в км/ч, а время в минутах, переведите что-то одно до подстановки.
- Дробные коэффициенты. Уравнение с десятичными дробями удобнее умножить на 10 или 100 и решать с целыми числами.
Как тренироваться
Задачи десятого номера длинные, но однотипные: за 20–30 решённых задач видишь, что формул в банке ФИПИ около полутора десятков, и они повторяются. Решайте по пять в день и каждый раз проговаривайте, почему выбрали этот корень. Задачи с ответами в задачнике, задание 10.
Если квадратные неравенства даются трудно, повторите квадратные уравнения. Соседние номера: задание 11, текстовые задачи и задание 9, производная по графику.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли знать физику для десятого номера?
Нет. Все формулы даны в условии, а смысл величин пояснён. Физика помогает только быстрее понять, какой корень подходит.
Сколько времени тратить на это задание?
Около четырёх-пяти минут. Если уравнение не решается, отложите и вернитесь после остальной первой части.