Задание 12 профильного ЕГЭ: графики функций
В двенадцатом номере нарисован график функции и дана её формула с неизвестными коэффициентами. Нужно найти коэффициенты и посчитать значение функции в точке, которой на рисунке нет. В 2027 году номер стал двенадцатым: раньше это было задание 11. Мы описываем графики словами, через точки, которые на рисунке видны в узлах клетки.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Общий принцип
Сколько неизвестных коэффициентов в формуле, столько точек графика и нужно. Точки берите только там, где график проходит ровно через узел клетки, иначе координаты будут неточными. Подставляете координаты в формулу, получаете систему, решаете её, а потом считаете значение в нужной точке.
| Функция | Формула | Что подсказывает график |
|---|---|---|
| Линейная | f(x) = kx + b | b это точка пересечения с осью y |
| Квадратичная | f(x) = ax² + bx + c | вершина и ветви: вверх при a > 0 |
| Обратная пропорциональность | f(x) = k/x | k равно произведению координат любой точки |
| Корень | f(x) = k√x | проходит через начало координат |
| Показательная | f(x) = aˣ | проходит через (0; 1) |
| Логарифмическая | f(x) = log_a x + b | при x = 1 значение равно b |
| Тригонометрическая | f(x) = a cos x + b | b середина между максимумом и минимумом |
Разбор задач
Прямая
График функции f(x) = kx + b проходит через точки (−1; 1) и (2; 7). Найдите f(10).
k = (7 − 1)/(2 − (−1)) = 6/3 = 2.
1 = 2·(−1) + b, b = 3.
f(10) = 20 + 3 = 23.
Ответ: 23
Парабола по вершине
График функции f(x) = ax² + bx + c проходит через точки (1; 2), (2; 1) и (3; 2). Найдите f(5).
Точки (1; 2) и (3; 2) симметричны относительно x = 2, значит, вершина (2; 1).
f(x) = a(x − 2)² + 1. Из f(1) = 2: a + 1 = 2, a = 1.
f(5) = 9 + 1 = 10.
Ответ: 10
Гипербола
График функции f(x) = k/x проходит через точку (2; 3). Найдите f(−12).
k = 2·3 = 6.
f(−12) = 6/(−12) = −0,5.
Ответ: −0,5
Корень
График функции f(x) = k√x проходит через точку (4; 6). Найдите f(6,25).
6 = k·2, k = 3.
√6,25 = 2,5, f(6,25) = 3·2,5 = 7,5.
Ответ: 7,5
Показательная
График функции f(x) = aˣ проходит через точку (2; 4). Найдите f(−3).
a² = 4, основание положительно, a = 2.
f(−3) = 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
Ответ: 0,125
Логарифмическая
График функции f(x) = log_a x + b проходит через точки (1; 2) и (9; 4). Найдите f(81).
При x = 1 логарифм равен нулю, значит, b = 2.
log_a 9 = 2, a = 3.
f(81) = log₃ 81 + 2 = 4 + 2 = 6.
Ответ: 6
Косинус
Наибольшее значение функции f(x) = a cos x + b равно 5, наименьшее 1, a > 0. Найдите f(π/3).
b это середина: (5 + 1)/2 = 3, a это половина размаха: (5 − 1)/2 = 2.
f(π/3) = 2·0,5 + 3 = 4.
Ответ: 4
Пересечение графиков
Графики функций f(x) = 2x + 1 и g(x) = x² − 2 пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B, если она правее A.
x² − 2 = 2x + 1, x² − 2x − 3 = 0.
Корни −1 и 3, правее точка с абсциссой 3.
Ответ: 3
Проверь себя
- f(x) = kx + b проходит через (0; −2) и (3; 4). Найдите f(5). Ответ: 8.
- Парабола f(x) = ax² + bx + c с вершиной (−1; 3) проходит через (0; 1). Найдите f(2). Ответ: −15.
- f(x) = k/x проходит через (−4; 2). Найдите f(16). Ответ: −0,5.
- f(x) = 2^(x + b) проходит через (1; 8). Найдите f(−4). Ответ: 0,25.
- f(x) = a sin x + b, a > 0, наибольшее значение 7, наименьшее −1. Найдите f(π/6). Ответ: 5.
Во второй задаче удобно сразу записать параболу через вершину: f(x) = a(x + 1)² + 3. Тогда из f(0) = 1 получаем a = −2, и считать почти нечего.
Сколько времени тратить
Двенадцатый номер обычно решается за три-четыре минуты. Если точки на графике не находятся, а формула сложная, не застревайте: отметьте задание и вернитесь к нему после тринадцатого. На первую часть целиком разумно тратить около часа, чтобы на вторую оставалось почти три.
Где теряют балл
- Точка не в узле. Если график проходит между линиями клетки, координаты на глаз неточны. Ищите другую точку.
- Знак a у параболы. Ветви вниз значат a < 0. Проверьте знак после вычисления.
- Основание показательной функции. Из a² = 4 подходит только a = 2: основание всегда положительно.
- Не та точка пересечения. Если спрашивают абсциссу точки B, посмотрите на рисунке, какая из двух точек B.
Как тренироваться
Начните с прямых и парабол, их в банке больше всего. Потом гиперболы и корни, в конце показательные, логарифмы и тригонометрия. Задачи с рисунками и ответами в задачнике, задание 12.
Графики удобно строить самому: как это делать в бесплатном сервисе, мы рассказали в статье Desmos для графиков функций. Линейную функцию с нуля повторите в статье линейная функция.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Чем двенадцатый номер ЕГЭ отличается от графиков на ОГЭ?
На ОГЭ нужно сопоставить график и формулу. На ЕГЭ нужно найти коэффициенты и посчитать значение функции, которое на рисунке не видно.
Куда делось задание на наибольшее значение функции?
В проекте 2027 года его убрали из первой части. Производная теперь нужна в девятом номере и в новой задаче на моделирование во второй части.