Задание 13 ОГЭ по математике: неравенства
В тринадцатом номере ОГЭ по математике нужно решить неравенство или систему и выбрать среди вариантов рисунок или промежуток, где показан ответ. Типов три: линейное неравенство, квадратное и система из двух линейных.
Для 8–9 классов. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Правила
- Линейное: переносим слагаемые и делим на коэффициент. Если он отрицательный, знак меняется на противоположный.
- Квадратное: находим корни, рисуем параболу. Если ветви вверх, выражение отрицательно между корнями и положительно снаружи.
- Система: решаем каждое неравенство и берём общую часть, пересечение.
- Скобки в ответе: при строгом знаке точка не входит, круглая скобка и выколотая точка; при нестрогом входит, квадратная скобка и закрашенная точка.
Разбор примеров
Линейное
Решите неравенство 3x − 5 > 7.
3x > 12.
x > 4.
Ответ: (4; +∞)
С отрицательным коэффициентом
Решите неравенство 2 − 3x ≥ 8.
−3x ≥ 6.
Делим на −3, знак меняется: x ≤ −2.
Ответ: (−∞; −2]
Квадратное, между корнями
Решите неравенство x² − 9 < 0.
Корни −3 и 3, ветви параболы вверх.
Отрицательно между корнями: −3 < x < 3.
Ответ: (−3; 3)
Квадратное, снаружи
Решите неравенство x² − 5x ≥ 0.
x(x − 5) ≥ 0, корни 0 и 5.
Неотрицательно снаружи корней, включая сами корни.
Ответ: (−∞; 0] ∪ [5; +∞)
Произведение
Решите неравенство (x − 1)(x + 4) ≤ 0.
Корни −4 и 1, ветви вверх.
Неположительно между корнями: −4 ≤ x ≤ 1.
Ответ: [−4; 1]
Система
Решите систему: x + 2 > 0 и 6 − 2x ≥ 0.
Первое: x > −2. Второе: −2x ≥ −6, x ≤ 3.
Общая часть: −2 < x ≤ 3.
Ответ: (−2; 3]
Как выбрать рисунок
Варианты ответа в тринадцатом номере часто отличаются только одной деталью: закрашена точка или выколота, луч уходит влево или вправо. Поэтому сначала запишите ответ промежутком, а потом ищите рисунок, который совпадает с ним полностью.
Хорошая проверка: подставьте в исходное неравенство любое число из найденного промежутка и любое число вне его. Первое должно подойти, второе нет.
Какие формулировки встречаются
- Укажите решение неравенства: выбрать промежуток или рисунок из четырёх.
- Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке: обратная задача.
- Решите систему неравенств и выберите рисунок.
- Укажите неравенство, которое не имеет решений или выполняется при всех x.
Последний тип пугает формулировкой, но решается рассуждением. x² + 5 < 0 не имеет решений, потому что квадрат не бывает отрицательным, а значит, x² + 5 всегда больше нуля. x² − 5 < 0 решения имеет: это промежуток между −√5 и √5.
В обратной задаче, где по рисунку нужно найти неравенство, решите каждый из четырёх вариантов и сравните с рисунком. Это быстрее, чем пытаться угадать неравенство по картинке.
Проверь себя
- 5x + 4 ≤ 2x − 5. Ответ: (−∞; −3].
- x² > 4. Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; +∞).
- x − 1 < 0 и x + 3 ≥ 0. Ответ: [−3; 1).
- x² + x − 6 < 0. Ответ: (−3; 2).
Где теряют балл
- Знак при делении на отрицательное. Самая частая ошибка тринадцатого номера.
- Квадратное как линейное. Из x² > 4 нельзя получить «x > 2»: забыт промежуток x < −2.
- Объединение вместо пересечения в системе. Системе подходят только числа, которые удовлетворяют обоим неравенствам сразу.
Как тренироваться
Решайте каждое неравенство с рисунком прямой, даже простое: это вырабатывает привычку проверять концы. Задания с ответами в задачнике ОГЭ, задание 13.
Линейные неравенства с упражнениями в статье линейные неравенства, корни квадратных уравнений в статье квадратные уравнения.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что делать, если у квадратного трёхчлена нет корней?
Тогда парабола целиком выше или ниже оси. Если ветви вверх, выражение положительно при всех x: неравенство «больше нуля» верно всегда, «меньше нуля» не имеет решений.
Как записать ответ в бланк?
В тринадцатом номере обычно выбирают номер варианта ответа. Записывайте номер, а не промежуток.