Задание 8 ОГЭ по математике: степени и корни
Восьмой номер ОГЭ по математике проверяет степени и корни. Нужно упростить выражение и посчитать значение, иногда при заданном значении буквы. Ответ почти всегда целое число, поэтому если вышло что-то вроде √7, значит, преобразование не доведено до конца.
Для 8–9 классов. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Свойства
Степени
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Корни
√(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b, (√a)² = a (√a − √b)(√a + √b) = a − b
Корень из произведения равен произведению корней, а вот корень из суммы не равен сумме корней: √(9 + 16) = 5, а не 3 + 4.
Разбор примеров
Корень из произведения
Найдите значение √(16·25).
√16·√25 = 4·5.
= 20.
Ответ: 20
Квадрат корня
Найдите значение (√12)²/3.
(√12)² = 12.
12/3 = 4.
Ответ: 4
Произведение корней
Найдите значение √28·√7.
√(28·7) = √196.
= 14.
Ответ: 14
Степени с одним основанием
Найдите значение 2⁵·2⁻³.
Показатели складываем: 5 + (−3) = 2.
2² = 4.
Ответ: 4
Степень степени
Найдите значение (3⁴)²/3⁶.
(3⁴)² = 3⁸.
3⁸ : 3⁶ = 3² = 9.
Ответ: 9
Выражение с буквой
Найдите значение (a³)²/a⁴ при a = 5.
(a³)² = a⁶, a⁶ : a⁴ = a².
5² = 25.
Ответ: 25
Отрицательный показатель
Найдите значение x⁶·(x²)⁻² при x = 3.
(x²)⁻² = x⁻⁴, x⁶·x⁻⁴ = x².
3² = 9.
Ответ: 9
Корень из степеней
Найдите значение √(3⁴·2²).
√(3⁴) = 3² = 9, √(2²) = 2.
9·2 = 18.
Ответ: 18
Разность квадратов
Найдите значение (√7 − 2)(√7 + 2).
(√7)² − 2² = 7 − 4.
= 3.
Ответ: 3
С чего начинать упрощение
Если в выражении буква, сначала упростите его целиком и только потом подставляйте число. В примере с (a³)²/a⁴ подстановка сразу дала бы 15 625 : 625, а после упрощения остаётся 5².
Если под корнем произведение, разложите числа на множители и найдите полные квадраты: 28·7 = 4·7·7 = 4·49, корень из этого 2·7 = 14.
Какие примеры встречаются
- Произведение и частное корней: √28·√7, √(16·25), √80/√5.
- Квадрат выражения с корнем: (2√3)², (√7 − 2)(√7 + 2).
- Степени с одинаковым основанием: 2⁵·2⁻³, (3⁴)²/3⁶.
- Выражение с буквой: упростить и подставить значение.
- Степени разных чисел: 6⁵/(2³·3⁴), здесь 6 нужно разложить на 2·3.
Степени разных оснований
Найдите значение 6⁵/(2³·3⁴).
6⁵ = 2⁵·3⁵.
2⁵/2³ = 2² = 4, 3⁵/3⁴ = 3.
4·3 = 12.
Ответ: 12
Частное корней
Найдите значение √80/√5.
√(80/5) = √16.
= 4.
Ответ: 4
Если основания разные, ищите общие множители: 6 = 2·3, 10 = 2·5, 12 = 2²·3. После разложения степени с одинаковым основанием сокращаются, и выражение превращается в маленькое число.
Проверь себя
- 7⁻²·7⁴. Ответ: 49.
- √45·√5. Ответ: 15.
- (2√3)². Ответ: 12.
- 10⁻³·10⁵. Ответ: 100.
- √(0,36·49). Ответ: 4,2.
Где теряют балл
- Показатели перемножают вместо сложения. aᵐ·aⁿ это aᵐ⁺ⁿ, а не aᵐⁿ.
- Квадрат произведения. (2√3)² = 4·3 = 12, а не 2·3 = 6.
- Отрицательный показатель как отрицательное число. 2⁻³ = 1/8, это положительное число.
- Корень из суммы. √(a + b) не равен √a + √b.
Как тренироваться
Выпишите свойства на карточку и решайте по 10 примеров в день, сверяясь с ней. Через неделю карточка станет не нужна. Задания с ответами в задачнике ОГЭ, задание 8.
Теория с упражнениями в статьях степени и корни и формулы сокращённого умножения.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Бывают ли в восьмом номере дробные показатели?
В ОГЭ показатели целые. Дробные степени появляются в старшей школе и на ЕГЭ.
Что делать, если под корнем большое число?
Разложить его на множители и найти среди них полные квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, 49.