Задание 9 ОГЭ по математике: уравнения
В девятом номере ОГЭ по математике нужно решить уравнение: линейное или квадратное. Если корней несколько, в условии сказано, какой записать: больший или меньший. Задание базовое, но на нём часто теряют балл из-за знаков при переносе слагаемых.
Для 8–9 классов. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Что нужно помнить
- Перенос через знак равенства меняет знак слагаемого.
- Дроби в уравнении убираются умножением обеих частей на общий знаменатель.
- Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0: D = b² − 4ac, x = (−b ± √D)/(2a).
- Неполное квадратное решается без дискриминанта: x² = 3x даёт x(x − 3) = 0, x² − 16 = 0 даёт x = ±4.
- Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Разбор примеров
Линейное
Решите уравнение 4x − 7 = 2x + 5.
4x − 2x = 5 + 7, 2x = 12.
x = 6.
Ответ: 6
Со скобками
Решите уравнение 3(x − 2) = x + 4.
3x − 6 = x + 4, 2x = 10.
x = 5.
Ответ: 5
С дробями
Решите уравнение x/4 − 1 = x/6.
Умножаем на 12: 3x − 12 = 2x.
x = 12.
Ответ: 12
Квадратное, больший корень
Решите уравнение x² − 7x + 10 = 0. Если корней несколько, запишите больший.
По теореме Виета корни 2 и 5: их сумма 7, произведение 10.
Больший 5.
Ответ: 5
Неполное квадратное
Решите уравнение x² = 3x. Если корней несколько, запишите меньший.
x² − 3x = 0, x(x − 3) = 0.
Корни 0 и 3, меньший 0. Делить на x нельзя: потеряете корень 0.
Ответ: 0
Произведение равно нулю
Решите уравнение (x − 3)(x + 8) = 0. Если корней несколько, запишите больший.
x − 3 = 0 или x + 8 = 0.
Корни 3 и −8, больший 3.
Ответ: 3
Разность квадратов
Решите уравнение x² − 16 = 0. Если корней несколько, запишите меньший.
x² = 16, x = ±4.
Меньший −4.
Ответ: −4
Через дискриминант
Решите уравнение 2x² + 5x − 3 = 0. Если корней несколько, запишите больший.
D = 25 + 24 = 49.
x = (−5 ± 7)/4: 0,5 и −3.
Больший 0,5.
Ответ: 0,5
Виет или дискриминант
Если коэффициент при x² равен 1, а корни целые, теорема Виета быстрее: ищем два числа, сумма которых равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Для x² − 7x + 10 это 2 и 5.
Если коэффициент при x² не равен 1 или числа не подбираются за десять секунд, считайте дискриминант. Это надёжнее, чем долго гадать.
Какие уравнения встречаются
- Линейное с переносом слагаемых, со скобками или с дробями.
- Квадратное полное, где удобнее Виет или дискриминант.
- Неполное квадратное: x² = 3x, x² − 16 = 0, 2x² = 18.
- Произведение равно нулю: (x − 3)(x + 8) = 0.
- Пропорция: (x + 5)/3 = 4 или 6/(x − 1) = 2.
Пропорция
Решите уравнение 6/(x − 1) = 2.
Произведение крайних равно произведению средних: 6 = 2(x − 1).
x − 1 = 3, x = 4. Знаменатель 4 − 1 = 3, не ноль.
Ответ: 4
В девятом номере полезно перед решением посмотреть на уравнение целиком и спросить себя, какой это тип. Неполное квадратное решать дискриминантом можно, но это втрое дольше и даёт лишний шанс ошибиться.
Проверь себя
- 5x + 3 = 2x − 9. Ответ: −4.
- x² + 4x = 0, больший корень. Ответ: 0.
- x² − 5x − 14 = 0, меньший корень. Ответ: −2.
- (x + 5)/3 = 4. Ответ: 7.
Где теряют балл
- Знак при переносе. −7 слева становится +7 справа.
- Деление на x. В уравнении x² = 3x так теряют корень 0.
- Минус перед скобкой. −(x − 2) = −x + 2, меняются оба знака.
- Не тот корень. Перед записью ответа перечитайте: больший или меньший.
Как тренироваться
По десять уравнений в день: пять линейных, пять квадратных. Квадратные сначала решайте по Виету, а дискриминантом проверяйте. Задания с ответами в задачнике ОГЭ, задание 9.
Теория в статьях квадратные уравнения и уравнения 5–7 класса. Сложные уравнения второй части в статье уравнения ОГЭ, вторая часть.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что писать, если корней нет?
В девятом номере уравнения подобраны так, что корни есть. Если у вас получился отрицательный дискриминант, проверьте вычисления.
Нужно ли делать проверку?
В бланк идёт только ответ, но подставить корень в уравнение полезно: это занимает полминуты и ловит ошибку в знаке.