Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия

Углы, длины и площади плоских фигур по изученным теоремам. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 53 задачи с ответами и решениями, на этой странице 1–10.

1. Вписанная окружностьДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен $22$, вписана окружность, $AB = 8$. Найдите длину стороны $CD$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.

   Значит, каждая из этих сумм равна половине периметра: $AB + CD = 22 : 2 = 11$, откуда $CD = 11 - 8 = 3$.

   Отдельная страница задачи
2. Средняя линия и площадьДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   Площадь треугольника $ABC$ равна $60$, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABED$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 45

   Средняя линия отсекает треугольник $CDE$, подобный треугольнику $CAB$ с коэффициентом $\frac12$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента, поэтому $S_{CDE} = \frac14 \cdot 60 = 15$.

   Трапеция $ABED$ остаётся, если убрать из треугольника маленький: $60 - 15 = 45$.

   Отдельная страница задачи
3. Углы треугольникаДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $23^\circ$. Найдите величину угла $ADB$. Ответ дайте в градусах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 77

   $AD$ делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle CAD = \angle BAD = 23^\circ$.

   Угол $ADB$ внешний для треугольника $ADC$ и равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle ADB = \angle CAD + \angle C = 23^\circ + 54^\circ = 77^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Прямоугольный треугольникОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=10$, $BC=\sqrt{19}$. Найдите $\cos A$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,9

   $\cos A = \dfrac{AC}{AB}$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 19} = 9$, поэтому $\cos A = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $41^\circ$. Найдите величину угла $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 98

   Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, поэтому центральный угол $AOB = 2 \cdot 41^\circ = 82^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные ($BD$ диаметр): $\angle AOD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Прямоугольный треугольникОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=10$, $AC=\sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,7

   $\sin A = \dfrac{BC}{AB}$. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 51} = 6.999999999999999$, поэтому $\sin A = \dfrac{6.999999999999999}{10} = 0{,}7$.

   Отдельная страница задачи
7. Углы треугольникаОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, угол $C$ равен $168^\circ$, угол $CBD$ внешний. Найдите величину угла $CBD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 174

   Треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle B = \dfrac{180^\circ - 168^\circ}{2} = 6^\circ$. Внешний угол $CBD = 180^\circ - 6^\circ = 174^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Касательная к окружностиОткрытый банк ФИПИ

   Найдите величину угла $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Радиус $OA$ перпендикулярен касательной $CA$, треугольник $OAC$ прямоугольный. Центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$, то есть $66^\circ$. Поэтому $\angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Прямоугольный треугольникОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=10$, $AC=\sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,3

   $\sin A = \dfrac{BC}{AB}$. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 91} = 3$, поэтому $\sin A = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

    В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 24, вписана окружность, $AB=5$. Найдите длину стороны $CD$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 7

    В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD = 24 : 2 = 12$. Отсюда $CD = 12 - 5 = 7$.

    Отдельная страница задачи