Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия

Объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 57 задач с ответами и решениями, на этой странице 1–10.

1. ПризмаДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $18$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Отсечённая призма имеет то же боковое ребро, а в её основании лежит треугольник, стороны которого вдвое меньше сторон исходного основания: средняя линия и две половины сторон.

   Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на боковое ребро. Периметр вдвое меньше, поэтому у исходной призмы площадь вдвое больше: $2 \cdot 18 = 36$.

   Отдельная страница задачи
2. Объём пирамидыДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 6$, $AA_1 = 5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 45

   Это треугольная пирамида $B_1ABC$. В основании прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $9$ и $6$, его площадь $\frac12 \cdot 9 \cdot 6 = 27$. Высотой служит ребро $BB_1 = AA_1 = 5$.

   $V = \frac13 \cdot 27 \cdot 5 = 45$.

   Отдельная страница задачи
3. Шар и цилиндрДемоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

   Цилиндр, объём которого равен $18$, описан около шара. Найдите объём шара.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   У цилиндра, описанного около шара радиуса $R$, радиус основания равен $R$, а высота $2R$: $V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3 = 18$, откуда $\pi R^3 = 9$.

   $V_{\text{шара}} = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \cdot 9 = 12$.

   Отдельная страница задачи
4. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 48. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Отсечённая призма имеет то же боковое ребро, а периметр её основания вдвое меньше: средняя линия и две половины сторон. Площадь боковой поверхности пропорциональна периметру основания, поэтому она равна $48 : 2 = 24$.

   Отдельная страница задачи
5. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   При $h = r$ образующая конуса $l = r\sqrt2$. Боковая поверхность цилиндра $2\pi r h = 2\pi r^2 = 5\sqrt2$, отсюда $\pi r^2 = \dfrac{5\sqrt2}{2}$.

   Боковая поверхность конуса $\pi r l = \pi r^2 \sqrt2 = \dfrac{5\sqrt2}{2} \cdot \sqrt2 = 5$.

   Отдельная страница задачи
6. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Это пирамида с вершиной $C_1$ и основанием $ABC$, её высота равна боковому ребру. $V = \dfrac13 \cdot 6 \cdot 9 = 18$.

   Отдельная страница задачи
7. Части параллелепипедаОткрытый банк ФИПИ

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=8{,}$ $BC=7{,}$ $AA_{1}=6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 168

   Точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ задают прямую призму, которая отрезает ровно половину параллелепипеда (плоскость проходит через диагональ грани). $V = \dfrac12 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 168$.

   Отдельная страница задачи
8. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   У цилиндра, описанного около шара радиуса $R$, радиус основания $R$ и высота $2R$: $V_{\text{цил}} = 2\pi R^3$, а $V_{\text{шара}} = \dfrac43 \pi R^3$. Отношение $\dfrac32$, поэтому $V_{\text{цил}} = \dfrac32 \cdot 18 = 27$.

   Отдельная страница задачи
9. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $B_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, у которого $AB=9$, $BC=3$, $BB_{1}=8$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Это четырёхугольная пирамида с вершиной $B_1$ и основанием $ABCD$ площадью $9 \cdot 3 = 27$, высота $BB_1 = 8$. $V = \dfrac13 \cdot 27 \cdot 8 = 72$.

   Отдельная страница задачи
10. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

    Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $84\sqrt{2}$. Найдите длину образующей конуса.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 168

    Центр сферы в центре основания, поэтому радиус основания конуса и его высота равны радиусу сферы $R$. Образующая гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $R$: $l = R\sqrt2 = 84\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 168$.

    Отдельная страница задачи