Задание 2 ЕГЭ профиль: векторы

Координаты вектора, сумма, произведение на число, скалярное произведение. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 32 задачи с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Длина вектораОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(1;\,3)$ и $\vec{b}(3;\,-1)$. Найдите длину вектора $6\vec{a}+2\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Координаты вектора $6\vec a + 2\vec b$: $(6 \cdot 1 + 2 \cdot 3;\; 6 \cdot 3 + 2 \cdot (-1)) = (12;\,16)$.

   Длина: $\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20$.

   Отдельная страница задачи
2. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(5;\,-7)$ и $\vec{b}(14\,;\,1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 63

   Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $5 \cdot 14 + -7 \cdot 1 = 70 - 7 = 63$.

   Отдельная страница задачи
3. Скалярное произведение через уголОткрытый банк ФИПИ

   Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7,5

   $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos 60^\circ = 3 \cdot 5 \cdot \dfrac12 = 7{,}5$.

   Отдельная страница задачи
4. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}\left(6;\,4\right)$ и $\vec{b}\left(6;\,-8\right)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $6 \cdot 6 + 4 \cdot (-8) = 36 - 32 = 4$.

   Отдельная страница задачи
5. Скалярное произведениеОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}\left(8;\,9\right)$ и $\vec{b}\left(4;\,-3\right)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $8 \cdot 4 + 9 \cdot (-3) = 32 - 27 = 5$.

   Отдельная страница задачи
6. Скалярное произведение через уголОткрытый банк ФИПИ

   Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 7, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10,5

   $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos 60^\circ = 3 \cdot 7 \cdot \dfrac12 = 10{,}5$.

   Отдельная страница задачи
7. Длина вектораОткрытый банк ФИПИ

   Даны векторы $\vec{a}(1;\,5)$ и $\vec{b}(5;\,-1)$. Найдите длину вектора $5\vec{a}+\vec{b}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 26

   Координаты вектора $5\vec a + \vec b$: $(5 \cdot 1 + 1 \cdot 5;\; 5 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)) = (10;\,24)$.

   Длина: $\sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$.

   Отдельная страница задачи
8. Векторы на клетчатой плоскостиОткрытый банк ФИПИ

   На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}\,+4\vec{b}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   По рисунку $\vec a$ идёт из $(1;\,1)$ в $(4;\,5)$, поэтому $\vec a\,(3;\,4)$. Вектор $\vec b$ идёт из $(3;\,3)$ в $(5;\,2)$, поэтому $\vec b\,(2;\,-1)$.

   Координаты вектора $\vec a + 4\vec b$: $(1 \cdot 3 + 4 \cdot 2;\; 1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1)) = (11;\,0)$.

   Длина: $\sqrt{11^2 + 0^2} = \sqrt{121} = 11$.

   Отдельная страница задачи
9. Векторы на клетчатой плоскостиОткрытый банк ФИПИ

   На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   По рисунку $\vec a$ идёт из $(1;\,1)$ в $(3;\,4)$, поэтому $\vec a\,(2;\,3)$. Вектор $\vec b$ идёт из $(3;\,3)$ в $(5;\,2)$, поэтому $\vec b\,(2;\,-1)$.

   Скалярное произведение равно сумме произведений координат: $2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1$.

   Отдельная страница задачи
10. Векторы на клетчатой плоскостиОткрытый банк ФИПИ

    На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 10

    По рисунку $\vec a$ идёт из $(1;\,1)$ в $(3;\,5)$, поэтому $\vec a\,(2;\,4)$. Вектор $\vec b$ идёт из $(2;\,1)$ в $(6;\,5)$, поэтому $\vec b\,(4;\,4)$.

    Координаты вектора $\vec a + \vec b$: $(1 \cdot 2 + 1 \cdot 4;\; 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4) = (6;\,8)$.

    Длина: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.

    Отдельная страница задачи