Задание 5 ЕГЭ профиль: сложные события

Сложение и умножение вероятностей, формула полной вероятности. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 50 задач с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. Условная вероятностьОткрытый банк ФИПИ

   Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,08

   Если пять очков ни разу не выпало, у каждого броска осталось $5$ значений, всего $25$ равновозможных исходов. Сумма $9$: $(3;\,6)$, $(6;\,3)$, это $2$ исхода. Вероятность $\dfrac{2}{25} = 0{,}08$.

   Отдельная страница задачи
2. Независимые событияОткрытый банк ФИПИ

   Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,0864

   Выстрелы независимы. Попадание $0{,}4$, промах $0{,}6$. Нужны попадания в первую мишень и промах по трём последним:

   $0{,}4^{1} \cdot 0{,}6^{3} = 0{,}0864$.

   Отдельная страница задачи
3. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается фонарём с четырьмя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,9744

   Противоположное событие: перегорят все $4$ лампы, его вероятность $0{,}4^{4} = 0{,}0256$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}0256 = 0{,}9744$.

   Отдельная страница задачи
4. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,271

   Противоположное событие: перегорят все $3$ лампы, его вероятность $0{,}9^{3} = 0{,}729$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}729 = 0{,}271$.

   Отдельная страница задачи
5. Сумма и пересечение событийОткрытый банк ФИПИ

   При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,81

   Пусть $A$: масса меньше $810$ г, $B$: больше $790$ г. Любая буханка подходит хотя бы под одно условие, $P(A + B) = 1$, поэтому $P(AB) = 0{,}98 + 0{,}83 - 1 = 0{,}81$.

   Отдельная страница задачи
6. Независимые событияОткрытый банк ФИПИ

   Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Стрелок промахнётся всеми $n$ патронами с вероятностью $0{,}5^n$, поэтому поразит цель с вероятностью $1 - 0{,}5^n$. Нужно $1 - 0{,}5^n \ge 0{,}8$, то есть $0{,}5^n \le 0{,}2$.

   $0{,}5^{2} = 0{,}25$ ещё больше, а $0{,}5^{3} = 0{,}125$ уже подходит. Наименьшее число патронов $3$.

   Отдельная страница задачи
7. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,992

   Противоположное событие: перегорят все $3$ лампы, его вероятность $0{,}2^{3} = 0{,}008$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}008 = 0{,}992$.

   Отдельная страница задачи
8. Независимые событияОткрытый банк ФИПИ

   Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,0729

   Выстрелы независимы. Попадание $0{,}9$, промах $0{,}1$. Нужны попадания в три первые и промах по последней:

   $0{,}9^{3} \cdot 0{,}1^{1} = 0{,}0729$.

   Отдельная страница задачи
9. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,657

   Противоположное событие: перегорят все $3$ лампы, его вероятность $0{,}7^{3} = 0{,}343$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}343 = 0{,}657$.

   Отдельная страница задачи
10. Формула полной вероятностиОткрытый банк ФИПИ

    Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,1. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 0,15

    Бракуют в двух несовместных случаях: батарейка неисправна и её забраковали, или исправна и забракована по ошибке.

    $0{,}1 \cdot 0{,}96 + 0{,}9 \cdot 0{,}06 = 0{,}096 + 0{,}054 = 0{,}15$.

    Отдельная страница задачи