Задание 5 ЕГЭ профиль: сложные события

Сложение и умножение вероятностей, формула полной вероятности. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 50 задач с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Формула полной вероятностиОткрытый банк ФИПИ

   Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,93. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,039

   Бракуют в двух несовместных случаях: батарейка неисправна и её забраковали, или исправна и забракована по ошибке.

   $0{,}01 \cdot 0{,}93 + 0{,}99 \cdot 0{,}03 = 0{,}0093 + 0{,}0297 = 0{,}039$.

   Отдельная страница задачи
2. Независимые событияОткрытый банк ФИПИ

   Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,0009

   Выстрелы независимы. Попадание $0{,}9$, промах $0{,}1$. Нужны попадания в первую мишень и промах по трём последним:

   $0{,}9^{1} \cdot 0{,}1^{3} = 0{,}0009$.

   Отдельная страница задачи
3. Формула полной вероятностиОткрытый банк ФИПИ

   Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,94. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,049

   Бракуют в двух несовместных случаях: батарейка неисправна и её забраковали, или исправна и забракована по ошибке.

   $0{,}01 \cdot 0{,}94 + 0{,}99 \cdot 0{,}04 = 0{,}0094 + 0{,}0396 = 0{,}049$.

   Отдельная страница задачи
4. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,488

   Противоположное событие: перегорят все $3$ лампы, его вероятность $0{,}8^{3} = 0{,}512$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}512 = 0{,}488$.

   Отдельная страница задачи
5. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,875

   Противоположное событие: перегорят все $3$ лампы, его вероятность $0{,}5^{3} = 0{,}125$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}125 = 0{,}875$.

   Отдельная страница задачи
6. Формула полной вероятностиОткрытый банк ФИПИ

   Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,06. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,067

   Бракуют в двух несовместных случаях: батарейка неисправна и её забраковали, или исправна и забракована по ошибке.

   $0{,}06 \cdot 0{,}96 + 0{,}94 \cdot 0{,}01 = 0{,}0576 + 0{,}0094 = 0{,}067$.

   Отдельная страница задачи
7. Хотя бы одно событиеОткрытый банк ФИПИ

   Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,936

   Противоположное событие: перегорят все $3$ лампы, его вероятность $0{,}4^{3} = 0{,}064$. Хотя бы одна не перегорит: $1 - 0{,}064 = 0{,}936$.

   Отдельная страница задачи
8. Выбор двух предметовОткрытый банк ФИПИ

   В коробке 12 синих, 6 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,24

   Всего фломастеров $25$, пар из двух $\dfrac{25 \cdot 24}{2} = 300$. Пар «синий и красный» $12 \cdot 6 = 72$. Вероятность $\dfrac{72}{300} = 0{,}24$.

   Отдельная страница задачи
9. Формула полной вероятностиОткрытый банк ФИПИ

   Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,1. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,07. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,16

   Бракуют в двух несовместных случаях: батарейка неисправна и её забраковали, или исправна и забракована по ошибке.

   $0{,}1 \cdot 0{,}97 + 0{,}9 \cdot 0{,}07 = 0{,}097 + 0{,}063 = 0{,}16$.

   Отдельная страница задачи
10. Сумма и пересечение событийОткрытый банк ФИПИ

    В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,07. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 0,67

    Кофе закончится хотя бы в одном автомате с вероятностью $0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}07 = 0{,}33$. Останется в обоих в противоположном случае: $1 - 0{,}33 = 0{,}67$.

    Отдельная страница задачи