Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия

Углы, длины и площади плоских фигур по изученным теоремам. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 53 задачи с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Высота, медиана и биссектрисаОткрытый банк ФИПИ

   Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $9^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, $CM = MB$, поэтому $\angle MCB = \angle B = 9^\circ$. Высота $CH$ образует со стороной $CB$ угол $90^\circ - 9^\circ = 81^\circ$. Угол между ними $|81^\circ - 9^\circ| = 72^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=9{,}$ $CD=17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 52

   В описанном четырёхугольнике $AB + CD = BC + AD$, поэтому периметр $2(AB + CD) = 2(9 + 17) = 52$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 103

   Вписанные углы $CBD$ и $CAD$ опираются на дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = 41^\circ$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 62^\circ + 41^\circ = 103^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=6{,}$ $BC=4{,}$ $CD=9$. Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   В описанном четырёхугольнике $AB + CD = BC + AD$: $6 + 9 = 4 + AD$, $AD = 11$.

   Отдельная страница задачи
5. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 24. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Отрезок $BE$ отсекает треугольник $ABE$: его основание $AE$ вдвое меньше $AD$, а высота та же, что у параллелограмма, поэтому его площадь четверть площади параллелограмма, $24 : 4 = 6$. Трапеция $BCDE$: $24 - 6 = 18$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите центральный угол, если он на $28^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: если вписанный $x$, то центральный $2x$ и $2x - x = 28^\circ$. Вписанный угол $28^\circ$, центральный $56^circ$.

   Отдельная страница задачи
7. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Площадь треугольника $\dfrac12 \cdot 18 \cdot 10 = 90$. Высота к стороне 15: $\dfrac{2 \cdot 90}{15} = 12$.

   Отдельная страница задачи
8. Высота, медиана и биссектрисаОткрытый банк ФИПИ

   Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $25^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Биссектриса делит прямой угол пополам: $\angle DCB = 45^\circ$. Высота $CH$ образует со стороной $CB$ угол $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. Угол между ними $|65^\circ - 45^\circ| = 20^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Площадь треугольника $\dfrac12 \cdot 28 \cdot 15 = 210$. Высота к стороне 21: $\dfrac{2 \cdot 210}{21} = 20$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

    Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $32^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 116

    Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, поэтому центральный угол $AOB = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные ($BD$ диаметр): $\angle AOD = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

    Отдельная страница задачи