Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия

Углы, длины и площади плоских фигур по изученным теоремам. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 53 задачи с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на бо́льшую сторону параллелограмма.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Площадь параллелограмма $18 \cdot 10 = 180$. Высота к другой стороне $\dfrac{180}{20} = 9$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10{,}$ $BC=6{,}$ $CD=15$. Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   В описанном четырёхугольнике $AB + CD = BC + AD$: $10 + 15 = 6 + AD$, $AD = 19$.

   Отдельная страница задачи
3. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Средняя линия отсекает треугольник $CDE$, подобный $CAB$ с коэффициентом $\dfrac12$. Площадь меньше в $4$ раза: $24 : 4 = 6$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $61^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 58

   Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, поэтому центральный угол $AOB = 2 \cdot 61^\circ = 122^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные ($BD$ диаметр): $\angle AOD = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Касательная к окружностиОткрытый банк ФИПИ

   Угол $ACO$ равен $57^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 33

   Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, в прямоугольном треугольнике $OAC$ угол $AOC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$. Дуга $AB$ равна этому центральному углу: $33^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Касательная к окружностиОткрытый банк ФИПИ

   Найдите угол $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рис.), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $17^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 73

   Радиус $OA$ перпендикулярен касательной $CA$, треугольник $OAC$ прямоугольный. Центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$, то есть $17^\circ$. Поэтому $\angle ACO = 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Площадь параллелограмма $24 \cdot 18 = 432$. Высота к другой стороне $\dfrac{432}{27} = 16$.

   Отдельная страница задачи
8. Углы треугольникаОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $30^\circ$. Найдите величину угла $B$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   $AD$ биссектриса, поэтому $\angle A = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 54^\circ - 60^\circ = 66^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Центральный угол на $32^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: если вписанный $x$, то центральный $2x$ и $2x - x = 32^\circ$. Вписанный угол $32^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

    Найдите величину центрального угла, если он на $69^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 138

    Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: если вписанный $x$, то центральный $2x$ и $2x - x = 69^\circ$. Вписанный угол $69^\circ$, центральный $138^circ$.

    Отдельная страница задачи