Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия

Углы, длины и площади плоских фигур по изученным теоремам. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 53 задачи с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 61

   Вписанные углы $CBD$ и $CAD$ опираются на одну дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = 42^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 103^\circ - 42^\circ = 61^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $61^\circ$, угол $CAD$ равен $37^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 98

   Вписанные углы $CBD$ и $CAD$ опираются на дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = 37^\circ$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 61^\circ + 37^\circ = 98^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Прямоугольный треугольникОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=5$, $BC=4$. Найдите $\cos A$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,6

   $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$, $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac35 = 0{,}6$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 62

   Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, поэтому центральный угол $AOB = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные ($BD$ диаметр): $\angle AOD = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^\circ$ и $102^\circ$. Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 121

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$. Оставшиеся углы $180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$ и $180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$, бо́льший из них $121^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $ABD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $CAD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 77

   $\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 120^\circ - 43^\circ = 77^\circ$. Вписанный угол $CAD$ опирается на ту же дугу $CD$ и равен $77^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $16^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 82

   $BD$ диаметр, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$ и равен половине центрального: $82^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=14{,}$ $CD=17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 62

   В описанном четырёхугольнике $AB + CD = BC + AD$, поэтому периметр $2(AB + CD) = 2(14 + 17) = 62$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$, угол $CAD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 54

   Вписанные углы $CBD$ и $CAD$ опираются на одну дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = 44^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 98^\circ - 44^\circ = 54^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

    Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 28. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 21

    Отрезок $BE$ отсекает треугольник $ABE$: его основание $AE$ вдвое меньше $AD$, а высота та же, что у параллелограмма, поэтому его площадь четверть площади параллелограмма, $28 : 4 = 7$. Трапеция $BCDE$: $28 - 7 = 21$.

    Отдельная страница задачи