Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия

Углы, длины и площади плоских фигур по изученным теоремам. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 53 задачи с ответами и решениями, на этой странице 41–50.

1. Углы треугольникаОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 34

   Угол $B$ смежный с внешним: $180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$. Треугольник равнобедренный с основанием $AB$, $\angle A = \angle B = 73^\circ$, поэтому $\angle C = 180^\circ - 2 \cdot 73^\circ = 34^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Высота, медиана и биссектрисаОткрытый банк ФИПИ

   Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $65^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, $CM = MB$, поэтому $\angle MCB = \angle B = 65^\circ$. Высота $CH$ образует со стороной $CB$ угол $90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$. Угол между ними $|25^\circ - 65^\circ| = 40^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите величину вписанного угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 33

   $BD$ диаметр, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$ и равен половине центрального: $33^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $130^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   $BD$ диаметр, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$ и равен половине центрального: $25^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанные и центральные углыОткрытый банк ФИПИ

   Центральный угол на $29^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 29

   Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: если вписанный $x$, то центральный $2x$ и $2x - x = 29^\circ$. Вписанный угол $29^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $58^\circ$, угол $CAD$ равен $39^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 97

   Вписанные углы $CBD$ и $CAD$ опираются на дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = 39^\circ$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 58^\circ + 39^\circ = 97^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Углы треугольникаОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $55^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $29^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 67

   $AD$ биссектриса, $\angle A = 2 \cdot 29^\circ = 58^\circ$. Угол $ABD$ это угол $B$ треугольника: $180^\circ - 55^\circ - 58^\circ = 67^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. ПлощадиОткрытый банк ФИПИ

   Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 60. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   Основание $AE$ треугольника $ABE$ вдвое меньше $AD$, высота та же, что у параллелограмма. Площадь треугольника $\dfrac12 \cdot \dfrac12 \cdot 60 = 15$.

   Отдельная страница задачи
9. Касательная к окружностиОткрытый банк ФИПИ

   Угол $ACO$ равен $62^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 28

   Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, в прямоугольном треугольнике $OAC$ угол $AOC = 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$. Дуга $AB$ равна этому центральному углу: $28^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Высота, медиана и биссектрисаОткрытый банк ФИПИ

    Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 25

    Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, $CM = MB$, поэтому $\angle MCB = \angle B = 70^\circ$. Биссектриса образует с $CB$ угол $45^\circ$. Угол между ними $|70^\circ - 45^\circ| = 25^\circ$.

    Отдельная страница задачи