Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия

Объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 57 задач с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $B_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Это пирамида с вершиной $B_1$ и основанием $ABC$, высота равна боковому ребру. $V = \dfrac13 \cdot 3 \cdot 8 = 8$.

   Отдельная страница задачи
2. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 6. Найдите объём конуса.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   У конуса с тем же основанием и высотой объём втрое меньше: $V_{\text{кон}} = \dfrac13 S h$, $V_{\text{цил}} = S h$. Ответ: $6 : 3 = 2$.

   Отдельная страница задачи
3. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Отсечённая призма имеет то же боковое ребро, а периметр её основания вдвое меньше: средняя линия и две половины сторон. Площадь боковой поверхности пропорциональна периметру основания, поэтому она равна $24 : 2 = 12$.

   Отдельная страница задачи
4. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Высота и радиус основания конуса равны радиусу шара $R$: $V_{\text{кон}} = \dfrac13 \pi R^3$, $V_{\text{шара}} = \dfrac43 \pi R^3$, то есть в $4$ раза больше: $4 \cdot 12 = 48$.

   Отдельная страница задачи
5. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Объём цилиндра с тем же основанием и высотой втрое больше объёма конуса: $3 \cdot 6 = 18$.

   Отдельная страница задачи
6. Части параллелепипедаОткрытый банк ФИПИ

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=9$, $BC=7$, $AA_{1}=6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 63

   Это треугольная пирамида с вершиной $B_1$ и основанием $ABC$. Площадь основания $\dfrac12 \cdot 9 \cdot 7 = 31.5$, высота $6$.

   $V = \dfrac13 \cdot 31.5 \cdot 6 = 63$.

   Отдельная страница задачи
7. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Высота отсечённой призмы та же, а её основание подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, площадь меньше в $4$ раза. Объём: $24 : 4 = 6$.

   Отдельная страница задачи
8. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   У цилиндра, описанного около шара радиуса $R$, радиус основания $R$ и высота $2R$: $V_{\text{цил}} = 2\pi R^3$, а $V_{\text{шара}} = \dfrac43 \pi R^3$. Отношение $\dfrac32$, поэтому $V_{\text{цил}} = \dfrac32 \cdot 24 = 36$.

   Отдельная страница задачи
9. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна 12. Найдите площадь поверхности шара.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Сечение через центр круг радиуса шара: $\pi R^2 = 12$. Поверхность шара $4\pi R^2 = 48$.

   Отдельная страница задачи
10. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

    Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 10

    Основание отсечённой призмы прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac a2$, его площадь $\dfrac{a^2}{8}$, высота призмы $a$. Объём $\dfrac{a^3}{8} = \dfrac{80}{8} = 10$.

    Отдельная страница задачи