Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия

Объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 57 задач с ответами и решениями, на этой странице 51–57.

1. Части параллелепипедаОткрытый банк ФИПИ

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=6$, $BC=5$, $AA_{1}=4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $A_{1}$, $B_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Точки $A, B, C, D, A_1, B_1$ задают прямую призму, которая отрезает ровно половину параллелепипеда (плоскость проходит через диагональ грани). $V = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 60$.

   Отдельная страница задачи
2. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 28

   Основание отсечённой призмы подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, его площадь в $4$ раза меньше, высота та же. Объём исходной призмы $4 \cdot 7 = 28$.

   Отдельная страница задачи
3. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $18\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Радиус основания и высота конуса равны радиусу сферы $R$, поэтому образующая $l = R\sqrt2$. Из $R\sqrt2 = 18\sqrt2$ получаем $R = 18$.

   Отдельная страница задачи
4. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   У конуса с тем же основанием и высотой объём втрое меньше: $V_{\text{кон}} = \dfrac13 S h$, $V_{\text{цил}} = S h$. Ответ: $18 : 3 = 6$.

   Отдельная страница задачи
5. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   Объём цилиндра с тем же основанием и высотой втрое больше объёма конуса: $3 \cdot 9 = 27$.

   Отдельная страница задачи
6. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Высота отсечённой призмы та же, а её основание подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, площадь меньше в $4$ раза. Объём: $48 : 4 = 12$.

   Отдельная страница задачи
7. Подобие и отношенияОткрытый банк ФИПИ

   Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 11 раз, а высота останется прежней?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 121

   $V = \dfrac13 \pi r^2 h$ пропорционален квадрату радиуса: радиус больше в $11$ раз, объём в $11^2 = 121$ раз.

   Отдельная страница задачи