Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия

Объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 57 задач с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Основание параллелепипеда квадрат со стороной, равной диаметру $4$, высота $2$. $V = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$.

   Отдельная страница задачи
2. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Высота отсечённой призмы та же, а её основание подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, площадь меньше в $4$ раза. Объём: $52 : 4 = 13$.

   Отдельная страница задачи
3. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 15.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Основание отсечённой призмы подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, его площадь в $4$ раза меньше, высота та же. Объём исходной призмы $4 \cdot 15 = 60$.

   Отдельная страница задачи
4. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

   Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $C$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Многогранник получается из призмы, если отрезать пирамиду $B_1ABC$ с основанием $ABC$ и высотой $6$. Объём призмы $8 \cdot 6 = 48$, пирамиды $\dfrac13 \cdot 48 = 16$, остаётся $48 - 16 = 32$.

   Отдельная страница задачи
5. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 24.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 96

   Основание отсечённой призмы подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, его площадь в $4$ раза меньше, высота та же. Объём исходной призмы $4 \cdot 24 = 96$.

   Отдельная страница задачи
6. Части параллелепипедаОткрытый банк ФИПИ

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=6$, $BC=5$, $AA_{1}=4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Это треугольная пирамида с вершиной $B_1$ и основанием $ABC$. Площадь основания $\dfrac12 \cdot 6 \cdot 5 = 15$, высота $4$.

   $V = \dfrac13 \cdot 15 \cdot 4 = 20$.

   Отдельная страница задачи
7. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен 84, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 21

   Высота отсечённой призмы та же, а её основание подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, площадь меньше в $4$ раза. Объём: $84 : 4 = 21$.

   Отдельная страница задачи
8. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   $V = \pi r^2 h$. Радиус вдвое больше даёт множитель $4$, высота втрое меньше даёт $\dfrac13$: $V_2 = 15 \cdot \dfrac43 = 20$.

   Отдельная страница задачи
9. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 30. Найдите объём конуса.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   У конуса с тем же основанием и высотой объём втрое меньше: $V_{\text{кон}} = \dfrac13 S h$, $V_{\text{цил}} = S h$. Ответ: $30 : 3 = 10$.

   Отдельная страница задачи
10. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

    Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $A_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, у которого $AB=3{,}$ $AD=9{,}$ $AA_{1}=4$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 36

    Это пирамида с вершиной $A_1$ и основанием $ABCD$ площадью $3 \cdot 9 = 27$, высота $AA_1 = 4$. $V = \dfrac13 \cdot 27 \cdot 4 = 36$.

    Отдельная страница задачи