Задание 3 ЕГЭ профиль: стереометрия

Объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 57 задач с ответами и решениями, на этой странице 41–50.

1. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 18. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   $V = \pi r^2 h$. Радиус вдвое больше даёт множитель $4$, высота втрое меньше даёт $\dfrac13$: $V_2 = 18 \cdot \dfrac43 = 24$.

   Отдельная страница задачи
2. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

   Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B$, $C$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Многогранник получается из призмы, если отрезать пирамиду $A_1ABC$. Объём призмы $4 \cdot 6 = 24$, пирамиды $\dfrac13 \cdot 24 = 8$, остаётся $24 - 8 = 16$.

   Отдельная страница задачи
3. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 5.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Основание отсечённой призмы подобно исходному с коэффициентом $\dfrac12$, его площадь в $4$ раза меньше, высота та же. Объём исходной призмы $4 \cdot 5 = 20$.

   Отдельная страница задачи
4. Части параллелепипедаОткрытый банк ФИПИ

   В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=7$, $BC=6$, $AA_{1}=5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 105

   Точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ задают прямую призму, которая отрезает ровно половину параллелепипеда (плоскость проходит через диагональ грани). $V = \dfrac12 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 105$.

   Отдельная страница задачи
5. Пирамида в многогранникеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 9.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 21

   Это пирамида с вершиной $C_1$ и основанием $ABC$, высота равна боковому ребру. $V = \dfrac13 \cdot 7 \cdot 9 = 21$.

   Отдельная страница задачи
6. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Радиус основания и высота конуса равны радиусу сферы $R$, поэтому образующая $l = R\sqrt2$. Из $R\sqrt2 = 9\sqrt2$ получаем $R = 9$.

   Отдельная страница задачи
7. ПризмаОткрытый банк ФИПИ

   Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Отсечённая призма имеет то же боковое ребро и вдвое меньший периметр основания, поэтому площадь её боковой поверхности вдвое меньше. Исходная: $2 \cdot 36 = 72$.

   Отдельная страница задачи
8. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   При $h = r$ образующая конуса $l = r\sqrt2$. Боковая поверхность цилиндра $2\pi r h = 2\pi r^2 = 3\sqrt2$, отсюда $\pi r^2 = \dfrac{3\sqrt2}{2}$.

   Боковая поверхность конуса $\pi r l = \pi r^2 \sqrt2 = \dfrac{3\sqrt2}{2} \cdot \sqrt2 = 3$.

   Отдельная страница задачи
9. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

   Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 21. Найдите площадь поверхности шара.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   У цилиндра, описанного около шара радиуса $R$, полная поверхность $2\pi R \cdot 2R + 2\pi R^2 = 6\pi R^2 = 21$, а поверхность шара $4\pi R^2$. Это $\dfrac23$ от поверхности цилиндра: $14$.

   Отдельная страница задачи
10. Тела вращенияОткрытый банк ФИПИ

    Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 6

    При $h = r$ образующая конуса $l = r\sqrt2$. Боковая поверхность конуса $\pi r l = \pi r^2 \sqrt2 = 3\sqrt2$, поэтому $\pi r^2 = 3$.

    Боковая поверхность цилиндра $2\pi r h = 2\pi r^2 = 6$.

    Отдельная страница задачи