Задание 10 ЕГЭ профиль 2027: прикладные задачи, страница 4

Формула с корнемОткрытый банк ФИПИ

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=32\,000\,\text{км}\,/{\text{ч}}^{2}$ . Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 160 км/ч.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 0,4

$v^2 = 2la$ : $25600 = 2 \cdot 32000 \cdot l$ , $l = \dfrac{25600}{64000} = 0{,}4$ км.

Отдельная страница задачи

Формула с корнемОткрытый банк ФИПИ

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=4500\,\text{км}\,/{\text{ч}}^{2}$ . Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 0,9

$v^2 = 2la$ : $8100 = 2 \cdot 4500 \cdot l$ , $l = \dfrac{8100}{9000} = 0{,}9$ км.

Отдельная страница задачи

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

$T(t)=T_{0}\,+b\,t+a\,t^{2}$ ,

где $t$ — время (в мин.), $T_{0}\,=1380\,\text{К}$ , $a=-\,15\,\text{К}\,/\,{\text{мин}}^{2}$ , $b=165\,\text{К}\,/\,\text{мин}$ . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 4

Найдём, когда температура дойдёт до $1800$ К: $1380 + 165t - 15t^2 = 1800$ , то есть $t^2 - 11t + 28 = 0$ , $t = 4$ или $t = 7$ .

Температура растёт с самого начала и впервые достигает $1800$ К через $4$ мин, после этого прибор нужно отключить. Ответ: $4$ .

Отдельная страница задачи

Формула с логарифмомОткрытый банк ФИПИ

Водолазный колокол, содержащий $\nu =3$ моль воздуха объёмом $V_{1}\,=16\,\text{л}$ , медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_{2}$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $\displaystyle A=\alpha \nu T\log _{2}\,\frac{V_{1}}{V_{2}}$ , где $\alpha =9{,}9$ $\displaystyle \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300\,\text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 2

$\alpha \nu T = 9{,}9 \cdot 3 \cdot 300 = 8910$ .

$26730 = 8910 \log_2 \dfrac{16}{V_2}$ , откуда $\log_2 \dfrac{16}{V_2} = 3$ , $\dfrac{16}{V_2} = 8$ , $V_2 = 2$ л.

Отдельная страница задачи

Формула с логарифмомОткрытый банк ФИПИ

Водолазный колокол, содержащий $\nu =6$ моль воздуха при давлении $p_{1}\,=2{,}5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $\displaystyle A=\alpha \nu T\log _{2}\,\frac{p_{2}}{p_{1}}$ , где $\alpha =5{,}75$ $\displaystyle \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ — постоянная, $T=300\,\text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_{2}$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 5

$\alpha \nu T = 5{,}75 \cdot 6 \cdot 300 = 10350$ .

$10350 = 10350 \log_2 \dfrac{p_2}{2{,}5}$ , откуда $\log_2 \dfrac{p_2}{2{,}5} = 1$ , $p_2 = 2{,}5 \cdot 2 = 5$ атм.

Отдельная страница задачи

Формула с корнемОткрытый банк ФИПИ

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}\,/{\text{ч}}^{2}$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}\,/{\text{ч}}^{2}$ .

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 4900

$v^2 = 2la$ : $4900 = 2 \cdot 0{,}5 \cdot a$ , $a = 4900$ км/ч².

Отдельная страница задачи

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_{0}=24\,\text{м/с}$ , начал торможение с постоянным ускорением $a=3\,{\text{м/с}}^{2}$ . За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $\displaystyle S=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 6

$24t - \dfrac{3t^2}{2} = 90$ , корни $t = 6$ и $t = 10$ .

Автомобиль останавливается при $24 - 3t = 0$ , через $8$ с. Позже этого формула пути не работает, поэтому $t = 6$ с.

Отдельная страница задачи

Дробная формулаОткрытый банк ФИПИ

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0}=192\,\text{Гц}$ . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $\displaystyle f(v)=\frac{f_{0}}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300\,\text{м/с}$ . Ответ дайте в $\text{м/с}$ .

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 12

Человек различит гудки, если $f \ge 192 + 8 = 200$ : $\dfrac{192}{1 - \frac{v}{300}} \ge 200$ , $1 - \dfrac{v}{300} \le 0{,}96$ , $v \ge 12$ . Наименьшая скорость $12$ м/с.

Отдельная страница задачи

Дробная формулаОткрытый банк ФИПИ

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0}=295\,\text{Гц}$ . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $\displaystyle f(v)=\frac{f_{0}}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300\,\text{м/с}$ . Ответ дайте в $\text{м/с}$ .

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 5

Нужно $f \ge 295 + 5 = 300$ : $\dfrac{295}{1 - \frac{v}{300}} \ge 300$ , $1 - \dfrac{v}{300} \le \dfrac{295}{300}$ , $v \ge 5$ . Наименьшая скорость $5$ м/с.

Отдельная страница задачи

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\displaystyle \varphi =\omega t+\frac{\beta t^{2}}{2}$ , где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega =15\,\text{град}.\,/\,\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =6\,\text{град}.\,/\,{\text{мин}}^{2}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^\circ$ . Ответ дайте в минутах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 25

$15t + 3t^2 = 2250$ , $t^2 + 5t - 750 = 0$ , $t = 25$ мин (второй корень отрицательный).

Отдельная страница задачи

Задание 10 ЕГЭ профиль: прикладные задачи