Задание 10 ЕГЭ профиль 2027: прикладные задачи, страница 5

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\displaystyle \varphi =\omega t+\frac{\beta t^{2}}{2}$ , где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega =50\,\text{град}.\,/\,\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =4\,\text{град}.\,/\,{\text{мин}}^{2}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2500^\circ$ . Ответ дайте в минутах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 25

$50t + 2t^2 = 2500$ , $t^2 + 25t - 1250 = 0$ , $t = 25$ мин (второй корень отрицательный).

Отдельная страница задачи

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_{0}=23\,\text{м/с}{,}$ начал торможение с постоянным ускорением $a=2\,{\text{м/с}}^{2}$ . За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $\displaystyle S=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 11

$23t - \dfrac{2t^2}{2} = 132$ , корни $t = 11$ и $t = 12$ .

Автомобиль останавливается при $23 - 2t = 0$ , через $11{,}5$ с. Позже этого формула пути не работает, поэтому $t = 11$ с.

Отдельная страница задачи

Формула с корнемОткрытый банк ФИПИ

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^{k}\,=6{,}4\cdot {10}^{6}\,\text{Па}\cdot {\text{м}}^{5}$ , где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа (в м^{3}), $\displaystyle k=\frac{5}{3}$ . Найдите, какой объём V (в м^{3}) будет занимать газ при давлении $p$ , равном $2\cdot {10}^{5}\,\text{Па}$ .

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 8

$V^{\frac53} = \dfrac{6{,}4 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^5} = 32 = 2^5$ , поэтому $V = \left(2^5\right)^{\frac35} = 2^3 = 8$ м³.

Отдельная страница задачи

Дробная формулаОткрытый банк ФИПИ

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f\,=30\,$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\displaystyle \frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{f}$ .

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 36

$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{d_2}$ . Чем больше $d_2$ , тем больше правая часть и тем меньше $d_1$ , поэтому берём $d_2 = 180$ : $\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{6 - 1}{180} = \dfrac{1}{36}$ , $d_1 = 36$ см. Это в допустимых пределах.

Отдельная страница задачи

Формула с корнемОткрытый банк ФИПИ

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана $-$ Больцмана, согласно которому $P=\text{σ}\,S\,T^{4}$ , где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\displaystyle \text{σ}=5{,}7\cdot {10}^{-\,8}\,\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^{2}\cdot {\text{К}}^{4}}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^{2}$ ), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\displaystyle \frac{1}{256}\cdot {10}^{21}\,{\text{м}}^{2}$ , а мощность её излучения равна $9{,}12\cdot {10}^{26}\,\text{Вт}$ . Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 8000

$T^4 = \dfrac{P}{\sigma S} = \dfrac{9{,}12 \cdot 10^{26} \cdot 256}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{21}} = 1{,}6 \cdot 256 \cdot 10^{13} = 4096 \cdot 10^{12}$ .

$T = \sqrt[4]{4096 \cdot 10^{12}} = 8 \cdot 10^3 = 8000$ К.

Отдельная страница задачи

Формула с корнемОткрытый банк ФИПИ

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\text{σ}\,S\,T^{4}$ , где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\displaystyle \text{σ}=5{,}7\cdot {10}^{-\,8}\,\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^{2}\cdot {\text{К}}^{4}}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^{2}$ ), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\displaystyle \frac{1}{2401}\cdot {10}^{22}\,{\text{м}}^{2}$ , а мощность её излучения равна $5{,}7\cdot {10}^{26}\,\text{Вт}$ . Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 7000

$T^4 = \dfrac{5{,}7 \cdot 10^{26} \cdot 2401}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{22}} = 2401 \cdot 10^{12}$ , $T = 7 \cdot 10^3 = 7000$ К.

Отдельная страница задачи

Дробная формулаОткрытый банк ФИПИ

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f\,=36\,$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\displaystyle \frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{f}$ .

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 45

$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{d_2}$ наименьшее $d_1$ даёт наибольшее $d_2 = 180$ : $\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{5 - 1}{180} = \dfrac{1}{45}$ , $d_1 = 45$ см.

Отдельная страница задачи

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1{,}6+13\,t-5\,t^{2}$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 1,8

$1{,}6 + 13t - 5t^2 \ge 6$ , то есть $5t^2 - 13t + 4{,}4 \le 0$ . Корни $t = 0{,}4$ и $t = 2{,}2$ , мяч выше $6$ м между ними: $2{,}2 - 0{,}4 = 1{,}8$ с.

Отдельная страница задачи

Квадратичная зависимостьОткрытый банк ФИПИ

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H(t)=a\,t^{2}\,+b\,t+H_{0}$ , где $H$ — высота столба воды в метрах, $H_{0}\,=8\,\text{м}$ — начальный уровень воды, $\displaystyle a=\frac{1}{72}\,\text{м}\,/\,{\text{мин}}^{2}$ и $\displaystyle b=-\,\frac{2}{3}\,\text{м}\,/\,\text{мин}$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 24

Вода вытекает, пока $H(t) > 0$ : $\dfrac{t^2}{72} - \dfrac{2t}{3} + 8 = 0$ , $t^2 - 48t + 576 = 0$ , $(t - 24)^2 = 0$ , $t = 24$ мин.

Отдельная страница задачи

Формула с логарифмомОткрытый банк ФИПИ

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается по закону $\displaystyle m=m_{0}\,\cdot 2^{-\,\,\frac{\tau }{T}}$ , где $m_{0}$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

Ваш ответ

Показать ответ и решение

Ответ: 16

$156 \cdot 2^{-\frac{\tau}{8}} = 39$ , $2^{-\frac{\tau}{8}} = \dfrac14 = 2^{-2}$ , $\tau = 16$ мин.

Отдельная страница задачи

Задание 10 ЕГЭ профиль: прикладные задачи