Задание 13 ЕГЭ профиль: финансовые задачи

Кредиты, вклады и проценты: модель реальной ситуации. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 35 задач с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $900\,000$ рублей. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Кредит берётся на $9$ месяцев.

   Каким будет наибольший месячный платёж? Ответ дайте в рублях.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 127000

   Самый большой платёж первый: долг ещё весь, и проценты на него наибольшие. В первый месяц выплачивается часть долга $\dfrac{900\,000}{9} = 100\,000$ рублей и проценты $0{,}03 \cdot 900\,000 = 27\,000$ рублей.

   Платёж $100\,000 + 27\,000 = 127\,000$ рублей.

   Отдельная страница задачи
2. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $600\,000$ рублей. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $1$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Кредит берётся на $15$ месяцев.

   Сколько рублей составит общая сумма выплат после полного погашения кредита?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 648000

   Каждый месяц долг уменьшается на $\dfrac{S}{15}$, а ещё выплачиваются проценты на текущий долг. Проценты за месяцы образуют убывающую прогрессию: $0{,}01S \cdot \dfrac{15}{15};\ 0{,}01S \cdot \dfrac{14}{15};\ \ldots;\ 0{,}01S \cdot \dfrac{1}{15}$. Их сумма $0{,}01S \cdot \dfrac{15 + 1}{2} = 0{,}08S$.

   Переплата $0{,}08 \cdot 600\,000 = 48\,000$ рублей, общая сумма выплат $600\,000 + 48\,000 = 648\,000$ рублей.

   Отдельная страница задачи
3. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $1\,500\,000$ рублей. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $2$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Кредит берётся на $15$ месяцев.

   На сколько рублей общая сумма выплат превысит сумму кредита?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 240000

   Каждый месяц долг уменьшается на $\dfrac{S}{15}$, а ещё выплачиваются проценты на текущий долг. Проценты за месяцы образуют убывающую прогрессию: $0{,}02S \cdot \dfrac{15}{15};\ 0{,}02S \cdot \dfrac{14}{15};\ \ldots;\ 0{,}02S \cdot \dfrac{1}{15}$. Их сумма $0{,}02S \cdot \dfrac{15 + 1}{2} = 0{,}16S$.

   Переплата $0{,}16 \cdot 1\,500\,000 = 240\,000$ рублей.

   Отдельная страница задачи
4. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $2\,400\,000$ рублей. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $1$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Кредит берётся на $24$ месяцев.

   Каким будет последний месячный платёж? Ответ дайте в рублях.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 101000

   Перед последним месяцем остаётся долг $\dfrac{2\,400\,000}{24} = 100\,000$ рублей. Он вырастает на $1$ % и выплачивается целиком: $100\,000 \cdot 1{,}01 = 101\,000$ рублей.

   Отдельная страница задачи
5. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $800\,000$ рублей на $19$ месяцев. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ целое число;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Общая сумма выплат после полного погашения кредита составила $960\,000$ рублей. Найдите $r$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Переплата равна сумме процентов за все месяцы: $\dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{19 + 1}{2} = \dfrac{r}{100} \cdot 800\,000 \cdot 10 = 80\,000r$ рублей.

   Она же равна $960\,000 - 800\,000 = 160\,000$ рублей, откуда $r = 2$.

   Отдельная страница задачи
6. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Кредит берётся на $11$ месяцев.

   Общая сумма выплат после полного погашения кредита составила $1\,180\,000$ рублей. Какую сумму взяли в кредит? Ответ дайте в рублях.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1000000

   Каждый месяц долг уменьшается на $\dfrac{S}{11}$, а ещё выплачиваются проценты на текущий долг. Проценты за месяцы образуют убывающую прогрессию: $0{,}03S \cdot \dfrac{11}{11};\ 0{,}03S \cdot \dfrac{10}{11};\ \ldots;\ 0{,}03S \cdot \dfrac{1}{11}$. Их сумма $0{,}03S \cdot \dfrac{11 + 1}{2} = 0{,}18S$.

   Общая сумма выплат $S + 0{,}18S = 1{,}18S = 1\,180\,000$, откуда $S = 1\,000\,000$ рублей.

   Отдельная страница задачи
7. Кредит с равномерным уменьшением долгаAuraLab, по прототипу ФИПИ

   15-го января планируется взять кредит в банке на сумму $1\,800\,000$ рублей. Условия его возврата таковы:

   – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $4$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

   – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

   – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

   Кредит берётся на $9$ месяцев.

   Каким будет наибольший месячный платёж? Ответ дайте в рублях.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 272000

   Самый большой платёж первый: долг ещё весь, и проценты на него наибольшие. В первый месяц выплачивается часть долга $\dfrac{1\,800\,000}{9} = 200\,000$ рублей и проценты $0{,}04 \cdot 1\,800\,000 = 72\,000$ рублей.

   Платёж $200\,000 + 72\,000 = 272\,000$ рублей.

   Отдельная страница задачи
8. Кредит двумя платежамиAuraLab, по прототипу ФИПИ

   В июле планируется взять кредит в банке на сумму $500\,000$ рублей на два года. Условия его возврата таковы:

   – каждый январь долг возрастает на $20$ % по сравнению с концом предыдущего года;

   – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

   В первый год выплачено $300\,000$ рублей. Сколько рублей нужно выплатить во второй год, чтобы полностью погасить кредит?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 360000

   В январе первого года долг станет $500\,000 \cdot 1{,}2 = 600\,000$ рублей, после платежа останется $600\,000 - 300\,000 = 300\,000$ рублей.

   Во второй январь остаток вырастет до $300\,000 \cdot 1{,}2 = 360\,000$ рублей, это и есть второй платёж.

   Отдельная страница задачи
9. Кредит двумя платежамиAuraLab, по прототипу ФИПИ

   В июле планируется взять кредит в банке на сумму $800\,000$ рублей на два года. Условия его возврата таковы:

   – каждый январь долг возрастает на $10$ % по сравнению с концом предыдущего года;

   – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

   В первый год выплачено $480\,000$ рублей. Сколько рублей нужно выплатить во второй год, чтобы полностью погасить кредит?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 440000

   В январе первого года долг станет $800\,000 \cdot 1{,}1 = 880\,000$ рублей, после платежа останется $880\,000 - 480\,000 = 400\,000$ рублей.

   Во второй январь остаток вырастет до $400\,000 \cdot 1{,}1 = 440\,000$ рублей, это и есть второй платёж.

   Отдельная страница задачи
10. Кредит двумя платежамиAuraLab, по прототипу ФИПИ

    В июле планируется взять кредит в банке на сумму $1\,000\,000$ рублей на два года. Условия его возврата таковы:

    – каждый январь долг возрастает на $15$ % по сравнению с концом предыдущего года;

    – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

    В первый год выплачено $650\,000$ рублей. Сколько рублей нужно выплатить во второй год, чтобы полностью погасить кредит?

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 575000

    В январе первого года долг станет $1\,000\,000 \cdot 1{,}15 = 1\,150\,000$ рублей, после платежа останется $1\,150\,000 - 650\,000 = 500\,000$ рублей.

    Во второй январь остаток вырастет до $500\,000 \cdot 1{,}15 = 575\,000$ рублей, это и есть второй платёж.

    Отдельная страница задачи