Задание 6 ЕГЭ профиль: случайные величины

Распределение, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 43 задачи с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. Сумма случайных величинAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Независимые случайные величины $X$ (число очков первого игрока) и $Y$ (второго) имеют $E(X) = 2{,}4$, $D(X) = 1{,}2$, $E(Y) = 3{,}1$, $D(Y) = 0{,}9$. Найдите дисперсию величины $X + Y$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,1

   Для независимых величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий: $D(X + Y) = 1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1$.

   Отдельная страница задачи
2. Сумма случайных величинAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Независимые случайные величины $X$ (время в пути до вокзала в минутах) и $Y$ (время ожидания поезда) имеют $E(X) = 35$, $D(X) = 16$, $E(Y) = 12$, $D(Y) = 9$. Найдите стандартное отклонение величины $X + Y$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Величины независимы, поэтому $D(X + Y) = 16 + 9 = 25$, а стандартное отклонение $\sqrt{25} = 5$.

   Отдельная страница задачи
3. Сумма случайных величинAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Независимые случайные величины $X$ (число покупателей в первой кассе за час) и $Y$ (во второй) имеют $E(X) = 18$, $D(X) = 5$, $E(Y) = 23$, $D(Y) = 7$. Найдите математическое ожидание величины $X + Y$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 41

   Ожидание суммы равно сумме ожиданий: $E(X + Y) = 18 + 23 = 41$.

   Отдельная страница задачи
4. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Стрелок делает $20$ выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0{,}8$, выстрелы независимы. Найдите математическое ожидание числа попаданий.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 20$, $p = 0{,}8$.

   $$E = 20 \cdot 0{,}8 = 16.$$

   Отдельная страница задачи
5. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

   В тесте $40$ вопросов, у каждого четыре варианта ответа, из которых верен один. Ученик выбирает ответ наугад. Найдите математическое ожидание числа верных ответов.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 40$, $p = 0{,}25$.

   $$E = 40 \cdot 0{,}25 = 10.$$

   Отдельная страница задачи
6. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

   В тесте $40$ вопросов, у каждого четыре варианта ответа, из которых верен один. Ученик выбирает ответ наугад. Найдите дисперсию числа верных ответов.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7,5

   Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 40$, $p = 0{,}25$.

   $$D = 40 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 7{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
7. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Симметричную монету бросают $100$ раз. Найдите стандартное отклонение числа выпавших орлов.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 100$, $p = 0{,}5$.

   $$D = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25,$$

   стандартное отклонение $\sqrt{25} = 5$.

   Отдельная страница задачи
8. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Автомат выпускает детали, каждая из которых независимо от других оказывается бракованной с вероятностью $0{,}02$. Найдите математическое ожидание числа бракованных деталей среди $50$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 50$, $p = 0{,}02$.

   $$E = 50 \cdot 0{,}02 = 1.$$

   Отдельная страница задачи
9. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Вероятность того, что случайно выбранный покупатель воспользуется скидочной картой, равна $0{,}2$. За утро магазин посетили $25$ покупателей, которые действуют независимо. Найдите стандартное отклонение числа покупателей, воспользовавшихся картой.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 25$, $p = 0{,}2$.

   $$D = 25 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 4,$$

   стандартное отклонение $\sqrt{4} = 2$.

   Отдельная страница задачи
10. Серия испытанийAuraLab, по прототипу ФИПИ

    Вероятность того, что пассажир, купивший билет на рейс, не явится на посадку, равна $0{,}1$. На рейс продано $300$ билетов, пассажиры действуют независимо. Найдите дисперсию числа неявившихся пассажиров.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 27

    Число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ имеет математическое ожидание $np$ и дисперсию $np(1 - p)$. Здесь $n = 300$, $p = 0{,}1$.

    $$D = 300 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 27.$$

    Отдельная страница задачи