Задание 6 ЕГЭ профиль: случайные величины

Распределение, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 43 задачи с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Неизвестная вероятностьAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ равна число уроков, пропущенных случайно выбранным учеником за неделю. Её распределение задано таблицей, одна вероятность неизвестна.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0{,}4 & 0{,}2 & p & 0{,}05 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите математическое ожидание величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,05

   Сумма всех вероятностей равна $1$, поэтому $p = 1 - 0{,}4 - 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}35$.

   $$E(X) = 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}35 + 3 \cdot 0{,}05 = 1{,}05.$$

   Отдельная страница задачи
2. Неизвестная вероятностьAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ равна число попаданий у стрелка в серии из трёх выстрелов. Её распределение задано таблицей, одна вероятность неизвестна.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0{,}2 & p & 0{,}2 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите математическое ожидание величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,6

   Сумма всех вероятностей равна $1$, поэтому $p = 1 - 0{,}2 - 0{,}2 - 0{,}3 = 0{,}3$.

   $$E(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}3 = 1{,}6.$$

   Отдельная страница задачи
3. Неизвестная вероятностьAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ равна число сообщений, пришедших за случайно выбранный час. Её распределение задано таблицей, одна вероятность неизвестна.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P & 0{,}1 & 0{,}45 & p & 0{,}3 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите математическое ожидание величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,85

   Сумма всех вероятностей равна $1$, поэтому $p = 1 - 0{,}1 - 0{,}45 - 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}05$.

   $$E(X) = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}45 + 3 \cdot 0{,}05 + 4 \cdot 0{,}3 + 5 \cdot 0{,}1 = 2{,}85.$$

   Отдельная страница задачи
4. ДисперсияAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline P & 0{,}15 & 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}55 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите дисперсию величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3,24

   Дисперсия равна $D(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$.

   $$E(X) = (-2) \cdot 0{,}15 + 0 \cdot 0{,}05 + 1 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}55 = 1{,}6,$$

   $$E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}15 + 0^2 \cdot 0{,}05 + 1^2 \cdot 0{,}25 + 3^2 \cdot 0{,}55 = 5{,}8.$$

   $D(X) = 5{,}8 - 1{,}6^2 = 3{,}24$.

   Отдельная страница задачи
5. ДисперсияAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 4 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}6 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите дисперсию величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,6

   Дисперсия равна $D(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$.

   $$E(X) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}6 = 3,$$

   $$E(X^2) = 1^2 \cdot 0{,}2 + 2^2 \cdot 0{,}2 + 4^2 \cdot 0{,}6 = 10{,}6.$$

   $D(X) = 10{,}6 - 3^2 = 1{,}6$.

   Отдельная страница задачи
6. ДисперсияAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0{,}5 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите дисперсию величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,09

   Дисперсия равна $D(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$.

   $$E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 = 0{,}9,$$

   $$E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}5 + 1^2 \cdot 0{,}2 + 2^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}1 = 1{,}9.$$

   $D(X) = 1{,}9 - 0{,}9^2 = 1{,}09$.

   Отдельная страница задачи
7. ДисперсияAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & -1 & 0 & 1 \\ \hline P & 0{,}15 & 0{,}3 & 0{,}55 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите дисперсию величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,54

   Дисперсия равна $D(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$.

   $$E(X) = (-1) \cdot 0{,}15 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}55 = 0{,}4,$$

   $$E(X^2) = (-1)^2 \cdot 0{,}15 + 0^2 \cdot 0{,}3 + 1^2 \cdot 0{,}55 = 0{,}7.$$

   $D(X) = 0{,}7 - 0{,}4^2 = 0{,}54$.

   Отдельная страница задачи
8. ДисперсияAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 2 & 3 & 5 & 6 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}55 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите дисперсию величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,91

   Дисперсия равна $D(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$.

   $$E(X) = 2 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}05 + 5 \cdot 0{,}15 + 6 \cdot 0{,}55 = 4{,}7,$$

   $$E(X^2) = 2^2 \cdot 0{,}25 + 3^2 \cdot 0{,}05 + 5^2 \cdot 0{,}15 + 6^2 \cdot 0{,}55 = 25.$$

   $D(X) = 25 - 4{,}7^2 = 2{,}91$.

   Отдельная страница задачи
9. ДисперсияAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Распределение случайной величины $X$ задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 2 & 4 \\ \hline P & 0{,}15 & 0{,}35 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите дисперсию величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,11

   Дисперсия равна $D(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$.

   $$E(X) = 0 \cdot 0{,}15 + 2 \cdot 0{,}35 + 4 \cdot 0{,}5 = 2{,}7,$$

   $$E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}15 + 2^2 \cdot 0{,}35 + 4^2 \cdot 0{,}5 = 9{,}4.$$

   $D(X) = 9{,}4 - 2{,}7^2 = 2{,}11$.

   Отдельная страница задачи
10. Стандартное отклонениеAuraLab, по прототипу ФИПИ

    Случайная величина $X$ (выигрыш игрока в рублях в одной партии) принимает два значения. Распределение задано таблицей.

    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 0 & 10 \\ \hline P & 0{,}8 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$$

    Найдите стандартное отклонение величины $X$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 4

    $E(X) = 0 \cdot 0{,}8 + 10 \cdot 0{,}2 = 2$.

    Отклонения значений от среднего: $0 - 2 = -2$ и $10 - 2 = 8$. Дисперсия равна среднему квадрату отклонения:

    $$D(X) = 4 \cdot 0{,}8 + 64 \cdot 0{,}2 = 16.$$

    Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{16} = 4$.

    Отдельная страница задачи