Задание 6 ЕГЭ профиль: случайные величины

Распределение, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 43 задачи с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Стандартное отклонениеAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ (число очков, которое получает команда за задачу) принимает два значения. Распределение задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 3 & 8 \\ \hline P & 0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите стандартное отклонение величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,5

   $E(X) = 3 \cdot 0{,}5 + 8 \cdot 0{,}5 = 5{,}5$.

   Отклонения значений от среднего: $3 - 5{,}5 = -2{,}5$ и $8 - 5{,}5 = 2{,}5$. Дисперсия равна среднему квадрату отклонения:

   $$D(X) = 6{,}25 \cdot 0{,}5 + 6{,}25 \cdot 0{,}5 = 6{,}25.$$

   Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$.

   Отдельная страница задачи
2. Стандартное отклонениеAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ (изменение счёта игрока за один ход) принимает два значения. Распределение задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X & -5 & 5 \\ \hline P & 0{,}9 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите стандартное отклонение величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   $E(X) = (-5) \cdot 0{,}9 + 5 \cdot 0{,}1 = -4$.

   Отклонения значений от среднего: $-5 - (-4) = -1$ и $5 - (-4) = 9$. Дисперсия равна среднему квадрату отклонения:

   $$D(X) = 1 \cdot 0{,}9 + 81 \cdot 0{,}1 = 9.$$

   Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{9} = 3$.

   Отдельная страница задачи
3. Стандартное отклонениеAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ (время ожидания автобуса в секундах) принимает два значения. Распределение задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 100 & 150 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}8 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите стандартное отклонение величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   $E(X) = 100 \cdot 0{,}2 + 150 \cdot 0{,}8 = 140$.

   Отклонения значений от среднего: $100 - 140 = -40$ и $150 - 140 = 10$. Дисперсия равна среднему квадрату отклонения:

   $$D(X) = 1600 \cdot 0{,}2 + 100 \cdot 0{,}8 = 400.$$

   Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{400} = 20$.

   Отдельная страница задачи
4. Стандартное отклонениеAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Случайная величина $X$ (число страниц, прочитанных за вечер) принимает два значения. Распределение задано таблицей.

   $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 1 & 21 \\ \hline P & 0{,}1 & 0{,}9 \\ \hline \end{array}$$

   Найдите стандартное отклонение величины $X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   $E(X) = 1 \cdot 0{,}1 + 21 \cdot 0{,}9 = 19$.

   Отклонения значений от среднего: $1 - 19 = -18$ и $21 - 19 = 2$. Дисперсия равна среднему квадрату отклонения:

   $$D(X) = 324 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}9 = 36.$$

   Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{36} = 6$.

   Отдельная страница задачи
5. Свойства ожидания и дисперсииAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Известно, что $E(X) = 4$, а $D(X) = 2{,}5$. Найдите дисперсию случайной величины $Y = 3X - 2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22,5

   Прибавление числа не меняет разброс, а множитель выносится из дисперсии в квадрате: $D(aX + b) = a^2 D(X)$.

   $$D(Y) = 3^2 \cdot 2{,}5 = 22{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
6. Свойства ожидания и дисперсииAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Известно, что $E(X) = 1{,}5$, а $D(X) = 4$. Найдите математическое ожидание случайной величины $Y = 2X + 5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Математическое ожидание линейно: $E(aX + b) = aE(X) + b$. Дисперсия для ответа не нужна.

   $$E(Y) = 2 \cdot 1{,}5 + 5 = 8.$$

   Отдельная страница задачи
7. Свойства ожидания и дисперсииAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Известно, что $E(X) = -2$, а $D(X) = 9$. Найдите стандартное отклонение случайной величины $Y = -2X + 1$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   $D(aX + b) = a^2 D(X)$, поэтому $\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)$.

   $\sigma(X) = \sqrt{9} = 3$, значит, $\sigma(Y) = 2 \cdot 3 = 6$.

   Отдельная страница задачи
8. Свойства ожидания и дисперсииAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Известно, что $E(X) = 12$, а $D(X) = 0{,}8$. Найдите дисперсию случайной величины $Y = 5X$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Прибавление числа не меняет разброс, а множитель выносится из дисперсии в квадрате: $D(aX + b) = a^2 D(X)$.

   $$D(Y) = 5^2 \cdot 0{,}8 = 20.$$

   Отдельная страница задачи
9. Свойства ожидания и дисперсииAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Известно, что $E(X) = 3{,}2$, а $D(X) = 1{,}6$. Найдите математическое ожидание случайной величины $Y = -X + 10$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6,8

   Математическое ожидание линейно: $E(aX + b) = aE(X) + b$. Дисперсия для ответа не нужна.

   $$E(Y) = -1 \cdot 3{,}2 + 10 = 6{,}8.$$

   Отдельная страница задачи
10. Свойства ожидания и дисперсииAuraLab, по прототипу ФИПИ

    Известно, что $E(X) = 7$, а $D(X) = 6{,}25$. Найдите стандартное отклонение случайной величины $Y = 4X - 3$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 10

    $D(aX + b) = a^2 D(X)$, поэтому $\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)$.

    $\sigma(X) = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$, значит, $\sigma(Y) = 4 \cdot 2{,}5 = 10$.

    Отдельная страница задачи