Задание 14 ОГЭ: прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессия в задачах из жизни. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 100 задач с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 377

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: $a_1 = 17$, $d = 2$, рядов $13$. Сумма

   $$S_{13} = \frac{2a_1 + 12d}{2} \cdot 13 = \frac{34 + 24}{2} \cdot 13 = 377.$$

   Отдельная страница задачи
2. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 38

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию с $a_1 = 20$ и $d = 2$. По формуле $n$-го члена

   $$a_{10} = a_1 + 9d = 20 + 9 \cdot 2 = 38.$$

   Отдельная страница задачи
3. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 406

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: $a_1 = 16$, $d = 2$, рядов $14$. Сумма

   $$S_{14} = \frac{2a_1 + 13d}{2} \cdot 14 = \frac{32 + 26}{2} \cdot 14 = 406.$$

   Отдельная страница задачи
4. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   За 40 минут масса уменьшится вдвое $40 : 8 = 5$ раз:

   $$\frac{160}{2^{5}} = \frac{160}{32} = 5.$$

   Отдельная страница задачи
5. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию с $a_1 = 24$ и $d = 3$. По формуле $n$-го члена

   $$a_{9} = a_1 + 8d = 24 + 8 \cdot 3 = 48.$$

   Отдельная страница задачи
6. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   За 36 минут масса уменьшится вдвое $36 : 9 = 4$ раз:

   $$\frac{400}{2^{4}} = \frac{400}{16} = 25.$$

   Отдельная страница задачи
7. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 243

   За 80 минут пройдёт $80 : 20 = 4$ промежутков по 20 минут, и масса 4 раза увеличится в 3 раза:

   $$3 \cdot 3^{4} = 3 \cdot 81 = 243.$$

   Отдельная страница задачи
8. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 44

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию с $a_1 = 22$ и $d = 2$. По формуле $n$-го члена

   $$a_{12} = a_1 + 11d = 22 + 11 \cdot 2 = 44.$$

   Отдельная страница задачи
9. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 58

   Из седьмого ряда в одиннадцатой число мест выросло на $34 - 26 = 8$ за $4$ шага, значит, $d = 2$.

   Последний ряд 23-й, до него от 11-го ещё $12$ шагов: $a_{23} = 34 + 12 \cdot 2 = 58$.

   Отдельная страница задачи
10. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

    Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5

    Переведём в сантиметры: первый прыжок $360$ см, каждый следующий в два раза ниже. Высоты прыжков: $360$, $180$, $90$, $45$, $22{,}5$ см.

    Впервые ниже 25 см оказывается 5-й прыжок.

    Отдельная страница задачи