Задание 14 ОГЭ: прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессия в задачах из жизни. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 100 задач с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 363

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: $a_1 = 18$, $d = 3$, рядов $11$. Сумма

   $$S_{11} = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = \frac{36 + 30}{2} \cdot 11 = 363.$$

   Отдельная страница задачи
2. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,2 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   Переведём в сантиметры: первый прыжок $320$ см, каждый следующий в два раза ниже. Высоты прыжков: $320$, $160$, $80$, $40$, $20$, $10$, $5$ см.

   Впервые ниже 7 см оказывается 7-й прыжок.

   Отдельная страница задачи
3. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 648

   За 80 минут пройдёт $80 : 20 = 4$ промежутков по 20 минут, и масса 4 раза увеличится в 3 раза:

   $$8 \cdot 3^{4} = 8 \cdot 81 = 648.$$

   Отдельная страница задачи
4. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Переведём в сантиметры: первый прыжок $450$ см, каждый следующий в три раза ниже. Высоты прыжков: $450$, $150$, $50$, $\frac{50}{3}$ см.

   Впервые ниже 20 см оказывается 4-й прыжок.

   Отдельная страница задачи
5. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 459

   За 60 минут пройдёт $60 : 20 = 3$ промежутков по 20 минут, и масса 3 раза увеличится в 3 раза:

   $$17 \cdot 3^{3} = 17 \cdot 27 = 459.$$

   Отдельная страница задачи
6. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 34

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию с $a_1 = 18$ и $d = 2$. По формуле $n$-го члена

   $$a_{9} = a_1 + 8d = 18 + 8 \cdot 2 = 34.$$

   Отдельная страница задачи
7. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   За 42 минут масса уменьшится вдвое $42 : 6 = 7$ раз:

   $$\frac{640}{2^{7}} = \frac{640}{128} = 5.$$

   Отдельная страница задачи
8. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 26 мест, а в седьмом ряду 38 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 62

   Из третьем ряда в седьмой число мест выросло на $38 - 26 = 12$ за $4$ шага, значит, $d = 3$.

   Последний ряд 15-й, до него от 7-го ещё $8$ шагов: $a_{15} = 38 + 8 \cdot 3 = 62$.

   Отдельная страница задачи
9. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 378

   За 90 минут пройдёт $90 : 30 = 3$ промежутков по 30 минут, и масса 3 раза увеличится в 3 раза:

   $$14 \cdot 3^{3} = 14 \cdot 27 = 378.$$

   Отдельная страница задачи
10. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

    В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 348

    Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: $a_1 = 18$, $d = 2$, рядов $12$. Сумма

    $$S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = \frac{36 + 22}{2} \cdot 12 = 348.$$

    Отдельная страница задачи