Задание 14 ОГЭ: прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессия в задачах из жизни. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 100 задач с ответами и решениями, на этой странице 51–60.

1. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   Переведём в сантиметры: первый прыжок $480$ см, каждый следующий в два раза ниже. Высоты прыжков: $480$, $240$, $120$, $60$, $30$, $15$, $7{,}5$ см.

   Впервые ниже 10 см оказывается 7-й прыжок.

   Отдельная страница задачи
2. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,5

   За 63 минут масса уменьшится вдвое $63 : 9 = 7$ раз:

   $$\frac{320}{2^{7}} = \frac{320}{128} = 2{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
3. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 57

   Из пятого ряда в девятой число мест выросло на $33 - 25 = 8$ за $4$ шага, значит, $d = 2$.

   Последний ряд 21-й, до него от 9-го ещё $12$ шагов: $a_{21} = 33 + 12 \cdot 2 = 57$.

   Отдельная страница задачи
4. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 432

   За 60 минут пройдёт $60 : 20 = 3$ промежутков по 20 минут, и масса 3 раза увеличится в 3 раза:

   $$16 \cdot 3^{3} = 16 \cdot 27 = 432.$$

   Отдельная страница задачи
5. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12,5

   За 32 минут масса уменьшится вдвое $32 : 8 = 4$ раз:

   $$\frac{200}{2^{4}} = \frac{200}{16} = 12{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
6. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 405

   За 120 минут пройдёт $120 : 30 = 4$ промежутков по 30 минут, и масса 4 раза увеличится в 3 раза:

   $$5 \cdot 3^{4} = 5 \cdot 81 = 405.$$

   Отдельная страница задачи
7. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 378

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: $a_1 = 15$, $d = 3$, рядов $12$. Сумма

   $$S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = \frac{30 + 33}{2} \cdot 12 = 378.$$

   Отдельная страница задачи
8. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Переведём в сантиметры: первый прыжок $540$ см, каждый следующий в три раза ниже. Высоты прыжков: $540$, $180$, $60$, $20$, $\frac{20}{3}$ см.

   Впервые ниже 10 см оказывается 5-й прыжок.

   Отдельная страница задачи
9. Арифметическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

   В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 372

   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: $a_1 = 20$, $d = 2$, рядов $12$. Сумма

   $$S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = \frac{40 + 22}{2} \cdot 12 = 372.$$

   Отдельная страница задачи
10. Геометрическая прогрессияОткрытый банк ФИПИ

    Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 7

    Переведём в сантиметры: первый прыжок $240$ см, каждый следующий в два раза ниже. Высоты прыжков: $240$, $120$, $60$, $30$, $15$, $7{,}5$, $3{,}75$ см.

    Впервые ниже 5 см оказывается 7-й прыжок.

    Отдельная страница задачи