Задание 3 ОГЭ: практическая задача

Третий вопрос к тексту: длины, площади и расстояния на плане. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 77 задач с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Текст к заданиям 1–5: поездка в Захарово

   

   Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревне Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

   План местности: расстояние по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Найдите расстояние от деревни Вёсенка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   Шоссе и прямая дорога образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в деревне Полянка. Катеты по плану (сторона клетки $1$ км): от деревни Вёсенка до поворота $15$ км, от поворота до села Захарово $20$ км.

   По теореме Пифагора $\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$ км.

   Отдельная страница задачи
2. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размерыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь листа формата А3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1250

   Лист А0 имеет площадь 1 кв. м, то есть $10\,000$ кв. см. Каждый следующий формат вдвое меньше по площади:

   $$S_{А3} = \frac{10\,000}{2^{3}} = 1250\ \text{кв. см}.$$

   Отдельная страница задачи
3. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размерыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь листа формата А5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 312,5

   Лист А0 имеет площадь 1 кв. м, то есть $10\,000$ кв. см. Каждый следующий формат вдвое меньше по площади:

   $$S_{А5} = \frac{10\,000}{2^{5}} = 312{,}5\ \text{кв. см}.$$

   Отдельная страница задачи
4. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размерыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите ширину листа бумаги формата А0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 840

   Пусть у листа А0 стороны $a$ и $b$, $a = \sqrt{2}\,b$, а площадь $ab = 1$ кв. м. Тогда $b^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $b \approx 0{,}8409$ м $= 840{,}9$ мм, $a = \sqrt{2}\,b \approx 1189{,}2$ мм.

   При разрезании пополам длина нового листа равна ширине старого, а ширина равна половине длины старого. Получаем: А0: $1189{,}2$ на $840{,}9$ мм.

   Ширина А0 около $840{,}9$ мм, с округлением до числа, кратного 10, $840$ мм.

   Отдельная страница задачи
5. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размерыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите ширину листа бумаги формата А4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 210

   Пусть у листа А0 стороны $a$ и $b$, $a = \sqrt{2}\,b$, а площадь $ab = 1$ кв. м. Тогда $b^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $b \approx 0{,}8409$ м $= 840{,}9$ мм, $a = \sqrt{2}\,b \approx 1189{,}2$ мм.

   При разрезании пополам длина нового листа равна ширине старого, а ширина равна половине длины старого. Получаем: А0: $1189{,}2$ на $840{,}9$ мм; А1: $840{,}9$ на $594{,}6$ мм; А2: $594{,}6$ на $420{,}4$ мм; А3: $420{,}4$ на $297{,}3$ мм; А4: $297{,}3$ на $210{,}2$ мм.

   Ширина А4 около $210{,}2$ мм, с округлением до числа, кратного 10, $210$ мм.

   Отдельная страница задачи
6. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размерыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите длину листа бумаги формата А1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 840

   Пусть у листа А0 стороны $a$ и $b$, $a = \sqrt{2}\,b$, а площадь $ab = 1$ кв. м. Тогда $b^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $b \approx 0{,}8409$ м $= 840{,}9$ мм, $a = \sqrt{2}\,b \approx 1189{,}2$ мм.

   При разрезании пополам длина нового листа равна ширине старого, а ширина равна половине длины старого. Получаем: А0: $1189{,}2$ на $840{,}9$ мм; А1: $840{,}9$ на $594{,}6$ мм.

   Длина А1 около $840{,}9$ мм, с округлением до числа, кратного 10, $840$ мм.

   Отдельная страница задачи
7. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размерыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите длину листа бумаги формата А6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 150

   Пусть у листа А0 стороны $a$ и $b$, $a = \sqrt{2}\,b$, а площадь $ab = 1$ кв. м. Тогда $b^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $b \approx 0{,}8409$ м $= 840{,}9$ мм, $a = \sqrt{2}\,b \approx 1189{,}2$ мм.

   При разрезании пополам длина нового листа равна ширине старого, а ширина равна половине длины старого. Получаем: А0: $1189{,}2$ на $840{,}9$ мм; А1: $840{,}9$ на $594{,}6$ мм; А2: $594{,}6$ на $420{,}4$ мм; А3: $420{,}4$ на $297{,}3$ мм; А4: $297{,}3$ на $210{,}2$ мм; А5: $210{,}2$ на $148{,}7$ мм; А6: $148{,}7$ на $105{,}1$ мм.

   Длина А6 около $148{,}7$ мм, с округлением до числа, кратного 10, $150$ мм.

   Отдельная страница задачи
8. Текст к заданиям 1–5: поездка в Николаево

   

   Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревне Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

   План местности: расстояние по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   Шоссе и прямая дорога образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в деревне Старая. Катеты по плану (сторона клетки $1$ км): от деревни Осиновка до поворота $20$ км, от поворота до села Николаево $15$ км.

   По теореме Пифагора $\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25$ км.

   Отдельная страница задачи
9. Текст к заданиям 1–5: поездка в Николаево

   

   Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревне Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

   План местности: расстояние по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Найдите расстояние от деревни Зябликово до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 17

   Шоссе и прямая дорога образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в деревне Старая. Катеты по плану (сторона клетки $1$ км): от деревни Зябликово до поворота $8$ км, от поворота до села Николаево $15$ км.

   По теореме Пифагора $\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$ км.

   Отдельная страница задачи
10. Текст к заданиям 1–5: шины 185/60 R15

    

    

    Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

    Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину $B=195$ мм и высоту боковины $H=195\cdot 0{,}65=126{,}75$ (мм).

    Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях.

    За буквой R следует диаметр диска d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

    Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R15.

    Шины: диаметр колесаОткрытый банк ФИПИ

    Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 603

    На заводе ставят шины 185/60 R15. Диаметр колеса складывается из диаметра диска и двух высот боковины: $D = d + 2H$.

    Здесь диаметр диска $15 \cdot 25{,}4 = 381$ мм, высота боковины $185 \cdot 0{,}6 = 111$ мм, диаметр колеса $381 + 2 \cdot 111 = 603$ мм.

    Отдельная страница задачи