Задание 11 ЕГЭ профиль: текстовые задачи

Движение, работа, смеси и сплавы: составить уравнение и решить. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 63 задачи с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   Пусть скорость течения $u$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $13 - u$, по течению $13 + u$, и обратный путь короче на $2$ ч:

   $$\frac{168}{13 - u} - \frac{168}{13 + u} = 2.$$

   Приводим к общему знаменателю: $336u = 2(169 - u^2)$, откуда $u = 1$.

   Отдельная страница задачи
2. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Пусть скорость течения $u$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $9 - u$, по течению $9 + u$, и обратный путь короче на $4$ ч:

   $$\frac{77}{9 - u} - \frac{77}{9 + u} = 4.$$

   Приводим к общему знаменателю: $154u = 4(81 - u^2)$, откуда $u = 2$.

   Отдельная страница задачи
3. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 468 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 47 часов. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   В движении теплоход был $47 - 3 = 44$ ч. Пусть скорость течения $u$ км/ч:

   $$\frac{468}{22 + u} + \frac{468}{22 - u} = 44.$$

   Сумма дробей равна $\dfrac{468 \cdot 44}{484 - u^2}$, поэтому $484 - u^2 = 468$, $u = 4$.

   Отдельная страница задачи
4. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 90 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   Пусть скорость из A в B $v$ км/ч, обратно $v + 6$. Обратно он ехал на $4$ ч меньше, потому что $4$ ч стоял:

   $$\frac{90}{v} - \frac{90}{v + 6} = 4.$$

   $540 = 4v(v + 6)$, $v^2 + 6v - 135 = 0$, $v = 9$. Скорость на пути из B в A $9 + 6 = 15$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
5. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22

   Пусть скорость из A в B $v$ км/ч, обратно $v + 2$. На обратном пути баржа час стояла, поэтому двигалась на час меньше:

   $$\frac{264}{v} - \frac{264}{v + 2} = 1.$$

   $528 = v(v + 2)$, $v = 22$.

   Отдельная страница задачи
6. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 10 часов. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   В движении теплоход был $10 - 5 = 5$ ч. Пусть его скорость в неподвижной воде $v$ км/ч:

   $$\frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4} = 5.$$

   $96v = 5(v^2 - 16)$. Положительный корень этого уравнения $v = 20$.

   Отдельная страница задачи
7. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Катер в $10:00$ вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 35 км от А. Пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в $18:00$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   С 10:00 до 18:00 прошло $8$ ч, из них $4$ ч стоянки, в движении $4$ ч. Пусть собственная скорость $v$ км/ч:

   $$\frac{35}{v + 3} + \frac{35}{v - 3} = 4.$$

   $70v = 4(v^2 - 9)$, $2v^2 - 35v - 18 = 0$, $v = 18$.

   Отдельная страница задачи
8. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Катер в $10:00$ вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в $16:00$ того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   С 10:00 до 16:00 прошло $6$ ч, из них $3$ ч стоянки, в движении $3$ ч. Пусть собственная скорость $v$ км/ч:

   $$\frac{40}{v + 3} + \frac{40}{v - 3} = 3.$$

   $80v = 3(v^2 - 9)$, $3v^2 - 80v - 27 = 0$, $v = 27$.

   Отдельная страница задачи
9. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Два велосипедиста одновременно отправились в 70-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 4$. Первый был в пути на $2$ ч меньше:

   $$\frac{70}{x} - \frac{70}{x + 4} = 2.$$

   $70 \cdot 4 = 2x(x + 4)$, откуда $x = 10$ (второй корень отрицательный). Это и есть скорость второго: $10$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
10. Задачи на работуОткрытый банк ФИПИ

    Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 14

    Пусть вторая труба пропускает $x$ л в минуту, первая $x - 6$. Вторая заполняет резервуар на $6$ мин быстрее:

    $$\frac{112}{x - 6} - \frac{112}{x} = 6.$$

    $672 = 6x(x - 6)$, откуда $x = 14$.

    Отдельная страница задачи