Задание 11 ЕГЭ профиль: текстовые задачи

Движение, работа, смеси и сплавы: составить уравнение и решить. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 63 задачи с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Смеси и сплавыОткрытый банк ФИПИ

   Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40% меди, второй — 25% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 30

   Пусть второй сплав весит $x$ кг, тогда первый $x + 10$. Меди в них $0{,}4(x + 10) + 0{,}25x$, а в третьем сплаве массой $2x + 10$ её $0{,}35(2x + 10)$.

   Приравниваем: $x = 10$. Масса третьего сплава $2 \cdot 10 + 10 = 30$ кг.

   Отдельная страница задачи
2. Задачи на работуОткрытый банк ФИПИ

   Заказ на изготовление 192 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 4 детали больше?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Пусть второй делает $x$ деталей в час, первый $x + 4$. Первый выполняет заказ на $4$ ч быстрее:

   $$\frac{192}{x} - \frac{192}{x + 4} = 4.$$

   $768 = 4x(x + 4)$, откуда $x = 12$.

   Отдельная страница задачи
3. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 288 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 4 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Пусть скорость из A в B $v$ км/ч, обратно $v + 1$. Обратно баржа стояла $4$ ч, значит, двигалась на $4$ ч меньше:

   $$\frac{288}{v} - \frac{288}{v + 1} = 4.$$

   $288 = 4v(v + 1)$, $v^2 + v - 72 = 0$, $v = 8$.

   Отдельная страница задачи
4. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Пусть скорость лодки $v$ км/ч. Против течения она идёт со скоростью $v - 1$, по течению $v + 1$, и обратный путь короче на $2$ ч:

   $$\frac{255}{v - 1} - \frac{255}{v + 1} = 2.$$

   $510 = 2(v^2 - 1)$, $v^2 = 256$, $v = 16$.

   Отдельная страница задачи
5. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 168 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Пусть скорость первого $v$ км/ч, второго $v + 2$. Второй вышел на $2$ ч позже и пришёл одновременно, значит, был в пути на $2$ ч меньше:

   $$\frac{168}{v} - \frac{168}{v + 2} = 2.$$

   $336 = 2v(v + 2)$, $v^2 + 2v - 168 = 0$, $v = 12$.

   Отдельная страница задачи
6. Задачи на работуОткрытый банк ФИПИ

   Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Пусть первая труба пропускает $x$ л в минуту, вторая $x + 5$. Первая заполняет резервуар на $5$ мин дольше:

   $$\frac{104}{x} - \frac{104}{x + 5} = 5.$$

   $520 = 5x(x + 5)$, откуда $x = 8$.

   Отдельная страница задачи
7. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Два велосипедиста одновременно отправились в 80-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 2$. Первый был в пути на $2$ ч меньше:

   $$\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 2} = 2.$$

   $80 \cdot 2 = 2x(x + 2)$, откуда $x = 8$ (второй корень отрицательный). Это и есть скорость второго: $8$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
8. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   Пусть скорость лодки $v$ км/ч. Против течения она идёт со скоростью $v - 2$, по течению $v + 2$, и обратный путь короче на $4$ ч:

   $$\frac{117}{v - 2} - \frac{117}{v + 2} = 4.$$

   $468 = 4(v^2 - 4)$, $v^2 = 121$, $v = 11$.

   Отдельная страница задачи
9. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Два велосипедиста одновременно отправились в 144-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 8 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 8$. Первый был в пути на $9$ ч меньше:

   $$\frac{144}{x} - \frac{144}{x + 8} = 9.$$

   $144 \cdot 8 = 9x(x + 8)$, откуда $x = 8$ (второй корень отрицательный). Это и есть скорость второго: $8$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
10. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

    Два велосипедиста одновременно отправились в 112-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 16

    Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 2$. Первый был в пути на $1$ ч меньше:

    $$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 2} = 1.$$

    $112 \cdot 2 = 1x(x + 2)$, откуда $x = 14$ (второй корень отрицательный). Скорость первого $14 + 2 = 16$ км/ч.

    Отдельная страница задачи