Задание 11 ЕГЭ профиль: текстовые задачи

Движение, работа, смеси и сплавы: составить уравнение и решить. Часть 1, уровень повышенный, 1 балл. Здесь 63 задачи с ответами и решениями, на этой странице 51–60.

1. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 6$. Первый был в пути на $6$ ч меньше:

   $$\frac{160}{x} - \frac{160}{x + 6} = 6.$$

   $160 \cdot 6 = 6x(x + 6)$, откуда $x = 10$ (второй корень отрицательный). Это и есть скорость второго: $10$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
2. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Моторная лодка прошла против течения реки 280 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 14 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Пусть скорость течения $u$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $15 - u$, по течению $15 + u$, и обратный путь короче на $14$ ч:

   $$\frac{280}{15 - u} - \frac{280}{15 + u} = 14.$$

   Приводим к общему знаменателю: $560u = 14(225 - u^2)$, откуда $u = 5$.

   Отдельная страница задачи
3. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   Два велосипедиста одновременно отправились в 220-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого $x + 9$. Первый был в пути на $9$ ч меньше:

   $$\frac{220}{x} - \frac{220}{x + 9} = 9.$$

   $220 \cdot 9 = 9x(x + 9)$, откуда $x = 11$ (второй корень отрицательный). Скорость первого $11 + 9 = 20$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
4. Движение по прямойОткрытый банк ФИПИ

   От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   Пусть скорость первого $v$ км/ч, второго $v + 2$. Второй вышел на $2$ ч позже и пришёл одновременно:

   $$\frac{323}{v} - \frac{323}{v + 2} = 2.$$

   $646 = 2v(v + 2)$, $v^2 + 2v - 323 = 0$, $v = 17$. Скорость второго $17 + 2 = 19$ км/ч.

   Отдельная страница задачи
5. Движение по водеОткрытый банк ФИПИ

   Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 180 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов. Ответ дайте в км/ч.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   В движении теплоход был $20 - 1 = 19$ ч. Пусть его скорость в неподвижной воде $v$ км/ч:

   $$\frac{180}{v + 1} + \frac{180}{v - 1} = 19.$$

   $360v = 19(v^2 - 1)$. Положительный корень этого уравнения $v = 19$.

   Отдельная страница задачи
6. Смеси и сплавыОткрытый банк ФИПИ

   Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй — 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 150

   Пусть первый сплав весит $x$ кг, тогда второй $x + 90$. Меди в них $0{,}6x + 0{,}1(x + 90)$, а в третьем сплаве массой $2x + 90$ её $0{,}2(2x + 90)$.

   Приравниваем: $x = 30$. Масса третьего сплава $2 \cdot 30 + 90 = 150$ кг.

   Отдельная страница задачи
7. Совместная работаОткрытый банк ФИПИ

   Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   За час вместе они делают $\frac1{42} + \frac1{21} = \frac{3}{42} = \frac1{14}$ заказа, поэтому весь заказ за $14$ ч.

   Отдельная страница задачи
8. Задачи на работуОткрытый банк ФИПИ

   Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 285 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   Пусть первая труба пропускает $x$ л в минуту, вторая $x + 4$. Первая заполняет резервуар на $4$ мин дольше:

   $$\frac{285}{x} - \frac{285}{x + 4} = 4.$$

   $1140 = 4x(x + 4)$, откуда $x = 15$.

   Отдельная страница задачи
9. Смеси и сплавыОткрытый банк ФИПИ

   Призёрами городской олимпиады по математике стали 6 учеников, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 120

   $6$ человек составляют $5$ %, то есть $\dfrac{1}{20}$ всех участников: $6 \cdot 20 = 120$.

   Отдельная страница задачи
10. Совместная работаОткрытый банк ФИПИ

    Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя — за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 56

    За минуту вдвоём они делают $\frac1{24}$ грядки, Настя $\frac1{42}$, значит, Катя $\frac1{24} - \frac1{42} = \frac{7 - 4}{168} = \frac1{56}$. Одна Катя справится за $56$ минут.

    Отдельная страница задачи