Задание 5 ОГЭ: практическая задача

Последний вопрос к тексту: проценты, стоимость, выбор выгодного варианта. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 70 задач с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Текст к заданиям 1–5: поездка в Захарово

   

   Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревне Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

   План местности: покупкиОткрытый банк ФИПИ

   В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка.

   Наименование продукта	д. Масловка	с. Захарово	д. Вёсенка	д. Полянка
   Молоко (1 л)	45	40	42	52
   Хлеб (1 батон)	29	28	31	22
   Сыр «Российский» (1 кг)	250	270	290	280
   Говядина (1 кг)	350	380	360	390
   Картофель (1 кг)	35	25	32	24

   Саша с дедушкой хотят купить 3 батона хлеба, 2 кг сыра «Российский» и 5 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 746

   Считаем стоимость набора в каждом магазине:

   д. Масловка: $3 \cdot 29 + 2 \cdot 250 + 5 \cdot 35 = 762$ руб.
   с. Захарово: $3 \cdot 28 + 2 \cdot 270 + 5 \cdot 25 = 749$ руб.
   д. Вёсенка: $3 \cdot 31 + 2 \cdot 290 + 5 \cdot 32 = 833$ руб.
   д. Полянка: $3 \cdot 22 + 2 \cdot 280 + 5 \cdot 24 = 746$ руб.

   Дешевле всего д. Полянка, $746$ рублей.

   Отдельная страница задачи
2. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размер шрифтаОткрытый банк ФИПИ

   Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 21

   Листы подобны, и при переходе к соседнему формату все линейные размеры меняются в $\sqrt{2}$ раз. Лист А3 больше листа А4, значит, шрифт нужно увеличить в $\sqrt{2}$ раз:

   $$15 \cdot \sqrt{2} \approx 21{,}21 \approx 21.$$

   Отдельная страница задачи
3. Текст к заданиям 1–5: форматы листов бумаги

   

   Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

   Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

   Форматы бумаги: размер шрифтаОткрытый банк ФИПИ

   Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   Листы подобны, и при переходе к соседнему формату все линейные размеры меняются в $\sqrt{2}$ раз. Лист А5 меньше листа А4, значит, шрифт нужно уменьшить в $\sqrt{2}$ раз:

   $$\frac{16}{\sqrt{2}} \approx 11{,}31 \approx 11.$$

   Отдельная страница задачи
4. Текст к заданиям 1–5: поездка в Николаево

   

   Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревне Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

   План местности: покупкиОткрытый банк ФИПИ

   В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая.

   Наименование продукта	д. Осиновка	с. Николаево	д. Зябликово	д. Старая
   Молоко (1 л)	44	48	54	60
   Хлеб (1 батон)	26	19	23	18
   Сыр «Российский» (1 кг)	310	330	340	290
   Говядина (1 кг)	370	320	330	360
   Картофель (1 кг)	24	26	25	27

   Гриша с дедушкой хотят купить 3 л молока, 2 батона хлеба и 3 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 256

   Считаем стоимость набора в каждом магазине:

   д. Осиновка: $3 \cdot 44 + 2 \cdot 26 + 3 \cdot 24 = 256$ руб.
   с. Николаево: $3 \cdot 48 + 2 \cdot 19 + 3 \cdot 26 = 260$ руб.
   д. Зябликово: $3 \cdot 54 + 2 \cdot 23 + 3 \cdot 25 = 283$ руб.
   д. Старая: $3 \cdot 60 + 2 \cdot 18 + 3 \cdot 27 = 297$ руб.

   Дешевле всего д. Осиновка, $256$ рублей.

   Отдельная страница задачи
5. Текст к заданиям 1–5: поездка в Николаево

   

   Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревне Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

   План местности: покупкиОткрытый банк ФИПИ

   В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая.

   Наименование продукта	д. Осиновка	с. Николаево	д. Зябликово	д. Старая
   Молоко (1 л)	44	48	54	60
   Хлеб (1 батон)	26	19	23	18
   Сыр «Российский» (1 кг)	310	330	340	290
   Говядина (1 кг)	370	320	330	360
   Картофель (1 кг)	24	26	25	27

   Гриша с дедушкой хотят купить 5 л молока, 2 кг сыра «Российский» и 2 кг говядины. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1540

   Считаем стоимость набора в каждом магазине:

   д. Осиновка: $5 \cdot 44 + 2 \cdot 310 + 2 \cdot 370 = 1580$ руб.
   с. Николаево: $5 \cdot 48 + 2 \cdot 330 + 2 \cdot 320 = 1540$ руб.
   д. Зябликово: $5 \cdot 54 + 2 \cdot 340 + 2 \cdot 330 = 1610$ руб.
   д. Старая: $5 \cdot 60 + 2 \cdot 290 + 2 \cdot 360 = 1600$ руб.

   Дешевле всего с. Николаево, $1540$ рублей.

   Отдельная страница задачи
6. Текст к заданиям 1–5: шины 185/60 R15

   

   

   Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

   Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину $B=195$ мм и высоту боковины $H=195\cdot 0{,}65=126{,}75$ (мм).

   Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях.

   За буквой R следует диаметр диска d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

   Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R15.

   Шины: пробег за оборотОткрытый банк ФИПИ

   На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 205/45 R17? Результат округлите до десятых.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,2

   За один оборот колесо проходит длину своей окружности $\pi D$, поэтому пробег меняется во столько же раз, что и диаметр.

   Заводские шины 185/60 R15: диаметр диска $15 \cdot 25{,}4 = 381$ мм, высота боковины $185 \cdot 0{,}6 = 111$ мм, диаметр колеса $381 + 2 \cdot 111 = 603$ мм.

   Новые шины 205/45 R17: диаметр диска $17 \cdot 25{,}4 = 431{,}8$ мм, высота боковины $205 \cdot 0{,}45 = 92{,}25$ мм, диаметр колеса $431{,}8 + 2 \cdot 92{,}25 = 616{,}3$ мм.

   $$\frac{616{,}3 - 603}{603} \cdot 100\,\% \approx 2{,}2\,\%.$$

   Отдельная страница задачи
7. Текст к заданиям 1–5: шины 265/60 R18

   

   

   Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

   Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину $B=195$ мм и высоту боковины $H=195\cdot 0{,}65=126{,}75$ (мм).

   Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях.

   За буквой R следует диаметр диска d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

   Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/60 R18.

   Шины: пробег за оборотОткрытый банк ФИПИ

   На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 285/50 R20? Результат округлите до десятых.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,3

   За один оборот колесо проходит длину своей окружности $\pi D$, поэтому пробег меняется во столько же раз, что и диаметр.

   Заводские шины 265/60 R18: диаметр диска $18 \cdot 25{,}4 = 457{,}2$ мм, высота боковины $265 \cdot 0{,}6 = 159$ мм, диаметр колеса $457{,}2 + 2 \cdot 159 = 775{,}2$ мм.

   Новые шины 285/50 R20: диаметр диска $20 \cdot 25{,}4 = 508$ мм, высота боковины $285 \cdot 0{,}5 = 142{,}5$ мм, диаметр колеса $508 + 2 \cdot 142{,}5 = 793$ мм.

   $$\frac{793 - 775{,}2}{775{,}2} \cdot 100\,\% \approx 2{,}3\,\%.$$

   Отдельная страница задачи
8. Текст к заданиям 1–5: шины 205/60 R16

   

   

   Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

   Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину $B=195$ мм и высоту боковины $H=195\cdot 0{,}65=126{,}75$ (мм).

   Буква R означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях.

   За буквой R следует диаметр диска d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

   Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/60 R16.

   Шины: пробег за оборотОткрытый банк ФИПИ

   На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 215/60 R16? Результат округлите до десятых.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,8

   За один оборот колесо проходит длину своей окружности $\pi D$, поэтому пробег меняется во столько же раз, что и диаметр.

   Заводские шины 205/60 R16: диаметр диска $16 \cdot 25{,}4 = 406{,}4$ мм, высота боковины $205 \cdot 0{,}6 = 123$ мм, диаметр колеса $406{,}4 + 2 \cdot 123 = 652{,}4$ мм.

   Новые шины 215/60 R16: диаметр диска $16 \cdot 25{,}4 = 406{,}4$ мм, высота боковины $215 \cdot 0{,}6 = 129$ мм, диаметр колеса $406{,}4 + 2 \cdot 129 = 664{,}4$ мм.

   $$\frac{664{,}4 - 652{,}4}{652{,}4} \cdot 100\,\% \approx 1{,}8\,\%.$$

   Отдельная страница задачи
9. Текст к заданиям 1–5: поездка в Абрамово

   

   Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревне Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда.

   Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

   По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

   План местности: покупкиОткрытый банк ФИПИ

   В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая.

   Наименование продукта	д. Грушёвка	с. Абрамово	д. Таловка	д. Новая
   Молоко (1 л)	32	33	31	34
   Хлеб (1 батон)	24	21	26	20
   Сыр «Российский» (1 кг)	320	310	330	300
   Говядина (1 кг)	390	360	370	420
   Картофель (1 кг)	10	18	15	12

   Гриша с дедушкой хотят купить 3 батона хлеба, 1,5 кг сыра «Российский» и 5 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 570

   Считаем стоимость набора в каждом магазине:

   д. Грушёвка: $3 \cdot 24 + 1{,}5 \cdot 320 + 5 \cdot 10 = 602$ руб.
   с. Абрамово: $3 \cdot 21 + 1{,}5 \cdot 310 + 5 \cdot 18 = 618$ руб.
   д. Таловка: $3 \cdot 26 + 1{,}5 \cdot 330 + 5 \cdot 15 = 648$ руб.
   д. Новая: $3 \cdot 20 + 1{,}5 \cdot 300 + 5 \cdot 12 = 570$ руб.

   Дешевле всего д. Новая, $570$ рублей.

   Отдельная страница задачи
10. Текст к заданиям 1–5: поездка в Абрамово

    

    Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревне Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда.

    Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

    По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

    План местности: покупкиОткрытый банк ФИПИ

    В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая.

    Наименование продукта	д. Грушёвка	с. Абрамово	д. Таловка	д. Новая
    Молоко (1 л)	32	33	31	34
    Хлеб (1 батон)	24	21	26	20
    Сыр «Российский» (1 кг)	320	310	330	300
    Говядина (1 кг)	390	360	370	420
    Картофель (1 кг)	10	18	15	12

    Гриша с дедушкой хотят купить 4 л молока, 5 батонов хлеба и 2 кг говядины. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 957

    Считаем стоимость набора в каждом магазине:

    д. Грушёвка: $4 \cdot 32 + 5 \cdot 24 + 2 \cdot 390 = 1028$ руб.
    с. Абрамово: $4 \cdot 33 + 5 \cdot 21 + 2 \cdot 360 = 957$ руб.
    д. Таловка: $4 \cdot 31 + 5 \cdot 26 + 2 \cdot 370 = 994$ руб.
    д. Новая: $4 \cdot 34 + 5 \cdot 20 + 2 \cdot 420 = 1076$ руб.

    Дешевле всего с. Абрамово, $957$ рублей.

    Отдельная страница задачи