Задание 8 ЕГЭ профиль: вычисления

Значения выражений со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 58 задач с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. ТригонометрияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{4\sin 41^\circ\cdot \cos 41^\circ}{\sin 82^\circ}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   $2 \sin 41^\circ \cos 41^\circ = \sin 82^\circ$, поэтому $\dfrac{2 \sin 82^\circ}{\sin 82^\circ} = 2$.

   Отдельная страница задачи
2. ЛогарифмыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $6\log _{\sqrt[6]{13}}13$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   $\sqrt[6]{13} = 13^{1/6}$, а $\log_{a^{k}} b = \dfrac1k \log_a b$: $\log_{13^{1/6}} 13 = 6$. Значит, $6 \cdot 6 = 36$.

   Отдельная страница задачи
3. ЛогарифмыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\log _{2}6{,}4+\log _{2}5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   $\log_2 6{,}4 + \log_2 5 = \log_2 32 = 5$.

   Отдельная страница задачи
4. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{14}^{6{,}4}\,\cdot 7^{-\,5{,}4}}{2^{4{,}4}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 28

   $14^{6{,}4} = 2^{6{,}4} \cdot 7^{6{,}4}$. Тогда

   $$\frac{2^{6{,}4} \cdot 7^{6{,}4} \cdot 7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}} = 2^{2} \cdot 7^{1} = 28.$$

   Отдельная страница задачи
5. ЛогарифмыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\log _{0{,}7}10-\log _{0{,}7}7$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1

   $\log_{0{,}7} 10 - \log_{0{,}7} 7 = \log_{0{,}7} \dfrac{10}{7}$, а $\dfrac{10}{7} = 0{,}7^{-1}$. Ответ $-1$.

   Отдельная страница задачи
6. ТригонометрияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle 4\sqrt{3}\cos ^{2}\frac{23\pi }{12}-4\sqrt{3}\sin ^{2}\frac{23\pi }{12}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$: $4\sqrt3 \cos \dfrac{23\pi}{6} = 4\sqrt3 \cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 4\sqrt3 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6$.

   Отдельная страница задачи
7. ТригонометрияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle 5\sqrt{2}\sin \frac{3\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{8}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,5

   $\sin x \cos x = \dfrac12 \sin 2x$: $\dfrac{5\sqrt2}{2} \sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{5\sqrt2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} = 2{,}5$.

   Отдельная страница задачи
8. ЛогарифмыОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $6\log _{7}\sqrt[3]{7}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   $\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$, поэтому $6 \log_7 7^{1/3} = 6 \cdot \dfrac13 = 2$.

   Отдельная страница задачи
9. ТригонометрияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle 3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\sin ^{2}\frac{13\pi }{12}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4,5

   $3\sqrt3 - 6\sqrt3 \sin^2 x = 3\sqrt3 (1 - 2\sin^2 x) = 3\sqrt3 \cos 2x$.

   $3\sqrt3 \cos \dfrac{13\pi}{6} = 3\sqrt3 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4{,}5$.

   Отдельная страница задачи
10. ТригонометрияОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\displaystyle 8\sqrt{3}\cos ^{2}\frac{\pi }{12}-4\sqrt{3}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 6

    $8\sqrt3 \cos^2 x - 4\sqrt3 = 4\sqrt3 (2\cos^2 x - 1) = 4\sqrt3 \cos 2x$.

    $4\sqrt3 \cos \dfrac{\pi}{6} = 4\sqrt3 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6$.

    Отдельная страница задачи