Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 41–50.

1. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1,5

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,8)$ и $(1;\,2)$:

   $$k = \frac{2 - 8}{1 - (-3)} = \frac{-6}{4} = −1{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
2. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)?$

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Функция убывает там, где её производная отрицательна, то есть график $y = f'(x)$ лежит ниже оси $x$. Из отмеченных точек ниже оси лежат $4$.

   Отдельная страница задачи
3. Нули производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-\,5;\,4)$. Найдите корень уравнения $f'(x)=0$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −2

   Производная равна нулю там, где касательная горизонтальна. У графика одна такая точка, нижняя точка впадины: $x = -2$.

   Отдельная страница задачи
4. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,2

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,1)$ и $(2;\,7)$:

   $$k = \frac{7 - 1}{2 - (-3)} = \frac{6}{5} = 1{,}2.$$

   Отдельная страница задачи
5. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,5

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,-2)$ и $(1;\,4)$:

   $$k = \frac{4 - (-2)}{1 - (-3)} = \frac{6}{4} = 1{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
6. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1,25

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-5;\,7)$ и $(3;\,-3)$:

   $$k = \frac{-3 - 7}{3 - (-5)} = \frac{-10}{8} = −1{,}25.$$

   Отдельная страница задачи
7. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'\left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-\,5;\,5\right)$. Найдите точку максимума функции $f\left(x\right)$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   В точке максимума производная меняет знак с плюса на минус: график $f'$ пересекает ось $x$. Это происходит в точке $x = 2$.

   Отдельная страница задачи
8. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,9;\,10)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,6;\,8]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   В точке максимума производная меняет с плюса на минус (график $f'$ пересекает ось $x$ сверху вниз). На отрезке $[-6;\,8]$ таких пересечений $1$, это и есть количество точек максимума.

   Отдельная страница задачи
9. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1,4

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(2;\,3)$ и $(7;\,-4)$:

   $$k = \frac{-4 - 3}{7 - 2} = \frac{-7}{5} = −1{,}4.$$

   Отдельная страница задачи
10. Сравнение производной в точкахОткрытый банк ФИПИ

    На рисунке изображён график функции $y=f\left(x\right)$. На оси абсцисс отмечены точки 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f\left(x\right)$ наименьшее? В ответе укажите эту точку.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 2

    Производная равна угловому коэффициенту касательной. Наименьшая она там, где график круче всего опускается. Из отмеченных точек это $x = 2$.

    Отдельная страница задачи